Zadanie 4.2 Rozwiąż nierówność tgx ≤ -√3/3, w przedziale <-π/2, π/2)

 

Teoria potrzebna do zadania:

Wykres funkcji y=tg x

tangens

Zadanie:

Zadanie: Rozwiąż nierówność: tgx ≤ -√3/3, w przedziale <-π/2, π/2)

Rozwiązanie:

Mamy do rozwiązania następującą nierówność:

$$ tgx  \leq – \frac{\sqrt{3}}3$$

Rozwiązujemy najpierw równanie trygonometryczne

$$ tgx = – \frac{\sqrt{3}}3$$

W tablicach matematycznych sprawdzamy dla jakiego x powyższe równanie jest spełnione, okazuje się, że:

$$ tgx = \frac{\sqrt{3}}3 \textrm{dla x =} \frac{\pi}6 $$

Zatem

$$ tgx = -\frac{\sqrt{3}}3 \textrm{dla x =} -\frac{\pi}6 +k\pi $$

Funkcja trygonometryczna tangens jest nieparzysta i tg (-x) = -tg x

$$ tgx = -\frac{\sqrt{3}}3 $$

$$ tgx = -tg (\frac{\pi}6) $$

$$ tgx = tg (\frac{-\pi}6) $$

$$ x = -\frac{\pi}6 + k\pi $$

 

Z wykresu odczytujemy wszystkie wartości dla których powyższe równanie jest spełnione w przedziale <-π/2, π/2)

zad 6.2a

Widzimy, że w przedziale <-π/2, π/2), tgx = -√3/3 dla x = -π/6

Pamiętajmy, że ostatecznie mamy rozwiązać nierówność trygonometryczną a nie równanie.

$$ tgx  \leq – \frac{\sqrt{3}}3$$

Zacieniujmy sobie obszar wykresu od -π/2 do π/2 poniżej prostej y = -√3/3

zad 6.2b

W związku z tym, że mamy wyznaczyć wartości funkcji tangens mniejsze niż -√3/3 zaznaczmy te obszary, które znajdują się pod zadaną wartością.

zad 6.2c

Widzimy teraz, że $$ tgx \leq \frac{\sqrt{3}}3 \textrm{, w przedziale} <-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2) \textrm{ dla } -\frac{\pi}6 ≥ x ≥ -\frac{\pi}2 $$

Inaczej możemy zapisać, że $$ x∈<-\frac{\pi}2,\frac{\pi}6>$$

Uwaga na nawiasy oraz znaki nierówności. Mieliśmy zbadać wynik nierówności w przedziale <-π/2, π/2) – zapis ten oznacza, że sprawdzamy wewnątrz przedziału oraz przy –π/2 (π/2 pomijamy ponieważ nie leży w badanym przedziale), dlatego też w wyniku przy -π/2 używamy nawiasu zamkniętego lub jednego ze znaków ≥ ≤. W samym zadaniu zaś pytamy o punkty, w których tgx jest mniejszy lub równy od zadanej wartości – stąd używamy nawiasów >< lub znaków ≥≤ .