Dowolny kąt to kąt ostry, prosty, rozwarty ale też każdy przekraczający miarę konta pełnego. Możemy wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla każdego kąta jaki jesteście sobie w stanie tylko wyobrazić ale musimy go najpierw zredukować do kąta ostrego. Do takiej redukcji służy nam kilka wzorów.
Jeżeli mamy do czynienia z funkcją trygonometryczną kąta przekraczającego 360º zamieniamy najpierw ten kąt na taki, który 360º nie przekracza. Możemy to zrobić za pomocą wzorów:
sin (α + k*360º) = sin α
cos (α + k*360º) = cos α
tg (α + k*360º) = tg α
ctg (α + k*360º) = ctg α
gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą
Przykład: sin (1500º) = sin (60º + 4*360º) = sin (60º)
Jeżeli nadal mamy do czynienia z kątem rozwartym musimy go zredukować do kąta ostrego.
Korzystamy z wzorów redukcyjnych:
I ćwiartka |
II ćwiartka |
II ćwiartka |
III ćwiartka |
III ćwiartka |
IV ćwiartka |
IV ćwiartka |
IV ćwiartka |
|
| α | 90º – α | 90º + α | 180º – α | 180º + α | 270º – α | 270º + α | 360º – α | – α |
| π/2 – α | π/2 + α | π – α | π + α | 3π/2 – α | 3π/2 + α | 2π – α | – α | |
| sinα | cosα | cosα | sinα | -sinα | – sinα | – cosα | – sinα | – sinα |
| cosα | sinα | – sinα | – cosα | – cosα | – cosα | sinα | cosα | cosα |
| tgα | ctgα | – ctgα | – tgα | tgα | tgα | – ctgα | – tgα | – tgα |
| ctgα | tgα | – tgα | -ctgα | ctgα | ctgα | – tgα | -tgα | – ctgα |
Znaki funkcji trygonometrycznych:
I ćwiartka |
II ćwiartka |
III ćwiartka |
IV ćwiartka |
|
| α ∈ (0°, 90º) | α ∈ (90°, 180º) | α ∈ (180°, 270º) | α ∈ (270°,360º) | |
| α ∈ (0°, π/2) | α ∈ (π/2, π) | α ∈ (π, 3π/2) | α ∈ (3π/2, 2π) | |
| sinα | + | + | – | – |
| cosα | + | – | – | + |
| tgα | + | – | + | – |
| ctgα | + | – | + | – |
Jeżeli chodzi o znaki funkcji w poszczególnych ćwiartkach proponuję wierszyk:
„W pierwszej wszystkie są dodatnie
w drugiej tylko sinus
w trzeciej tangens i cotangens
a w czwartej cosinus”
Przykład: cos (120º) = cos (90º+30º) = – sin (30º)
Przykład: tg(-50º) = – tg(50º)