Zadanie MATURA 2016: Rozwiąż równanie -2cos²x + 3sinx + 3 = 0 w przedziale <0, 2π> (p. rozszerzony)

Teoria potrzebna do zadania:

Wykres funkcji y=sin x

sinx

Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1

Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x

Funkcja kwadratowa:

at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R

Δ =b² – 4ac

$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Zadanie:

Zadanie: -2cos²x + 3sinx + 3 = 0Rozwiązanie:

 

Podejrzewamy, że będziemy mieć do czynienia z funkcją kwadratową ale najpierw doprowadzamy do tego, że w równaniu jest tylko jeden rodzaj funkcji trygonometrycznej – korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast cos²x wstawiamy 1 – sin²x.

-2cos²x + 3sinx + 3 = 0

-2(1 – sin²x) + 3sinx + 3 = 0

-2 + 2sin²x + 3sinx + 3 = 0

2sin²x + 3sinx + 1 = 0

Jeżeli widzimy funkcję trygonometryczną podniesioną do kwadratu oraz tą samą funkcję trygonometryczną w pierwszej potędze (i ewentualnie jakąś liczbę do tego) zawsze będziemy mieli do czynienia z funkcją kwadratową

Dla ułatwienia zamiast sinx podstawimy t, t∈<-1, 1>

Pamiętajmy, że sin²x = (sinx)²

t = sinx, więc nasze równanie wygląda tak:

2t² + 3t +1 = 0

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

2t² + 3t +1 = 0

Δ = (3)²-4*2*1

Δ = 9-8

Δ = 1

√Δ = 1

$$ t_{1} = \frac{-3-1}{2*2}\textrm{, }t_{2} = \frac{-3+1}{2*2}$$

$$ t_{1} = \frac{-4}{4}\textrm{, }t_{2} = \frac{-2}{4}$$

Skracamy otrzymane ułamki

$$ t_{1} =-1\textrm{, }t_{2} = \frac{-1}{2}$$

Wracamy do naszego podstawienia t = sinx

$$ sinx = -1 \textrm{ lub }sinx = \frac{-1}{2}$$

Rozwiązujemy powstałe równania

$$ \textrm{a) }  sinx = -1 $$

Popatrzmy na wykres funkcji sinus

zad 5.6a

Odczytujemy, że

$$  sinx = -1 \textrm{ dla x = } \frac{3\pi}{2} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$

I drugie równanie:

$$ \textrm{b) }sinx = \frac{-1}{2}$$

Z tablic matematycznych odczytujemy, kiedy sinx = 1/2 a następnie z wykresu funkcji odczytujemy, kiedy sinx = -1/2

(z tablic wiemy, że sinx = 1/2 dla x = π/6, wykres jest regularny, więc jeżeli chcemy poznać dla jakiej wartości sinx = -1/2 wystarczy dodać π/6 do π i odjąć π/6 od 2π)

zad 5.6b

Widzimy więc, że

$$sinx =- \frac{1}{2} \textrm{ dla x =} \pi+ \frac{\pi}6 \textrm{+ 2kπ oraz dla x =} 2\pi – \frac{\pi}6 + 2kπ, k∈C$$

Uprośćmy nieco:

$$sinx =- \frac{1}{2} \textrm{ dla x =} \frac{7\pi}6 \textrm{+ 2kπ oraz dla x =} \frac{11\pi}6 + 2kπ, k∈C$$

W ten sposób znaleźliśmy rozwiązania równania: -2cos²x + 3sinx + 3 = 0:

$$   \textrm{ x = } \frac{3\pi}{2} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$

$$   \textrm{ x = } \frac{7\pi}{6} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$

$$   \textrm{ x = } \frac{11\pi}{2} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$

Pamiętajmy jednak, że autor zadania pyta nas tylko o rozwiązania mieszczące się w przedziale <0, 2π>

Mamy zatem trzy punkty, które mieszczą się w takim przedziale:

$$   \textrm{ x = } \frac{3\pi}{2}  $$

$$   \textrm{ x = } \frac{7\pi}{6}  $$

$$   \textrm{ x = } \frac{11\pi}{2}  $$

I to jest koniec naszego zadania.

Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2016, poziom rozszerzony.