Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Funkcja kwadratowa:
at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R
Δ =b² – 4ac
$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Zadanie:
Zadanie: -2cos²x + 3sinx + 3 = 0Rozwiązanie:
Podejrzewamy, że będziemy mieć do czynienia z funkcją kwadratową ale najpierw doprowadzamy do tego, że w równaniu jest tylko jeden rodzaj funkcji trygonometrycznej – korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast cos²x wstawiamy 1 – sin²x.
-2cos²x + 3sinx + 3 = 0
-2(1 – sin²x) + 3sinx + 3 = 0
-2 + 2sin²x + 3sinx + 3 = 0
2sin²x + 3sinx + 1 = 0
Jeżeli widzimy funkcję trygonometryczną podniesioną do kwadratu oraz tą samą funkcję trygonometryczną w pierwszej potędze (i ewentualnie jakąś liczbę do tego) zawsze będziemy mieli do czynienia z funkcją kwadratową
Dla ułatwienia zamiast sinx podstawimy t, t∈<-1, 1>
Pamiętajmy, że sin²x = (sinx)²
t = sinx, więc nasze równanie wygląda tak:
2t² + 3t +1 = 0
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
2t² + 3t +1 = 0
Δ = (3)²-4*2*1
Δ = 9-8
Δ = 1
√Δ = 1
$$ t_{1} = \frac{-3-1}{2*2}\textrm{, }t_{2} = \frac{-3+1}{2*2}$$
$$ t_{1} = \frac{-4}{4}\textrm{, }t_{2} = \frac{-2}{4}$$
Skracamy otrzymane ułamki
$$ t_{1} =-1\textrm{, }t_{2} = \frac{-1}{2}$$
Wracamy do naszego podstawienia t = sinx
$$ sinx = -1 \textrm{ lub }sinx = \frac{-1}{2}$$
Rozwiązujemy powstałe równania
$$ \textrm{a) } sinx = -1 $$
Popatrzmy na wykres funkcji sinus
Odczytujemy, że
$$ sinx = -1 \textrm{ dla x = } \frac{3\pi}{2} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$
I drugie równanie:
$$ \textrm{b) }sinx = \frac{-1}{2}$$
Z tablic matematycznych odczytujemy, kiedy sinx = 1/2 a następnie z wykresu funkcji odczytujemy, kiedy sinx = -1/2
(z tablic wiemy, że sinx = 1/2 dla x = π/6, wykres jest regularny, więc jeżeli chcemy poznać dla jakiej wartości sinx = -1/2 wystarczy dodać π/6 do π i odjąć π/6 od 2π)
Widzimy więc, że
$$sinx =- \frac{1}{2} \textrm{ dla x =} \pi+ \frac{\pi}6 \textrm{+ 2kπ oraz dla x =} 2\pi – \frac{\pi}6 + 2kπ, k∈C$$
Uprośćmy nieco:
$$sinx =- \frac{1}{2} \textrm{ dla x =} \frac{7\pi}6 \textrm{+ 2kπ oraz dla x =} \frac{11\pi}6 + 2kπ, k∈C$$
W ten sposób znaleźliśmy rozwiązania równania: -2cos²x + 3sinx + 3 = 0:
$$ \textrm{ x = } \frac{3\pi}{2} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$
$$ \textrm{ x = } \frac{7\pi}{6} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$
$$ \textrm{ x = } \frac{11\pi}{2} \textrm{ + 2k}\pi, \textrm{, k∈C} $$
Pamiętajmy jednak, że autor zadania pyta nas tylko o rozwiązania mieszczące się w przedziale <0, 2π>
Mamy zatem trzy punkty, które mieszczą się w takim przedziale:
$$ \textrm{ x = } \frac{3\pi}{2} $$
$$ \textrm{ x = } \frac{7\pi}{6} $$
$$ \textrm{ x = } \frac{11\pi}{2} $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2016, poziom rozszerzony.