Zadania MATURA 2012: Kąt α jest taki, że cosα + sin α = 4/3. Oblicz wartość wyrażenia Ιcos α – sin αΙ (p. rozszerzony)

 

Teoria potrzebna do zadania:

 
Wzór na jedynkę trygonometryczną: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1, \textrm{ dla }\alpha∈R$$
Zadanie:

Zadanie: Kąt α jest taki, że cosα + sin α = 4/3. Oblicz wartość wyrażenia

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert $$

Rozwiązanie – sposób I:

To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw sposób dłuższy ale chyba łatwiejszy do ogarnięcia.

Kąt α jest taki, że

$$ cos \alpha + sin \alpha = \frac 43$$

Obliczamy z powyższej równości cos α (można oczywiście wyliczyć sin α)

$$ cos \alpha = \frac 43 – sin \alpha $$

Bierzemy wzór na jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 $$

I wstawiamy do niego wyliczony cos α

$$sin^2 \alpha + (\frac 43 – sin \alpha)^2 = 1 $$

Obliczamy (podnosimy do kwadratu, porządkujemy)

$$sin^2 \alpha +\frac {16}9 – \frac 83 sin \alpha + sin^2 \alpha = 1 $$

$$2sin^2 \alpha  – \frac 83 sin \alpha +\frac {7}9 = 0 $$

Zastosujmy pomocniczą zmienną t = sin α

$$2t^2  – \frac 83 t +\frac {7}9 = 0 $$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

$$2t^2  – \frac 83 t +\frac {7}9 = 0 $$

$$ Δ = ( \frac{8}3 )^2 – 4*2* \frac 79 = \frac{64}9 – \frac {56}9 = \frac89$$

$$ \sqrt{Δ} =\sqrt {\frac89} = \frac{2 \sqrt 2}3 $$

$$ t_{1} = \frac{\frac 83 – \frac{ 2 \sqrt{2}}3}{2*2} = \frac{\frac{8-2 \sqrt{2}}3}4 = \frac{8-2 \sqrt{2}}3 * \frac 14 = \frac{8 – 2 \sqrt{2}}{12} = \frac{4 – \sqrt{2}}6$$

$$ t_{2} = \frac{\frac 83 + \frac{ 2 \sqrt{2}}3}{2*2} = \frac{\frac{8+2 \sqrt{2}}3}4 = \frac{8+2 \sqrt{2}}3 * \frac 14 = \frac{8 + 2 \sqrt{2}}{12} = \frac{4 + \sqrt{2}}6$$

Wracamy do podstawienia t = sin α

$$ sin \alpha = \frac{4 – \sqrt{2}}6 \textrm{   lub    } sin \alpha = \frac{4 + \sqrt{2}}6 $$

Z warunku postawionego na początku wiemy, że:

$$ cos \alpha = \frac 43 – sin \alpha $$

 

Wstawiamy otrzymane wcześniej sinusy i obliczamy:

$$ cos \alpha = \frac 43 – \frac{4 – \sqrt{2}}6 \textrm{   lub   }  cos \alpha = \frac 43 – \frac{4 + \sqrt{2}}6 $$

$$ cos \alpha = \frac 86 – \frac{4 – \sqrt{2}}6 \textrm{   lub   }  cos \alpha = \frac 86 – \frac{4 + \sqrt{2}}6 $$

$$ cos \alpha =  \frac{8-4 + \sqrt{2}}6 \textrm{   lub   } cos \alpha =\frac{8-4 – \sqrt{2}}6 $$

$$ cos \alpha =  \frac{4 + \sqrt{2}}6 \textrm{   lub   }  cos \alpha =\frac{4 – \sqrt{2}}6 $$

Otrzymaliśmy zatem dwie pary rozwiązań:

$$
\left\{ \begin{array}{ll}
sin \alpha = \frac{4-\sqrt{2}}6\\
cos \alpha = \frac{4+\sqrt{2}}6
\end{array} \right.
$$

oraz

$$
\left\{ \begin{array}{ll}
sin \alpha = \frac{4+\sqrt{2}}6\\
cos \alpha = \frac{4-\sqrt{2}}6
\end{array} \right.
$$

 

Przechodzimy do ostatniej części naszego zadania. Mamy obliczyć wartość wyrażenia

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert $$

Podstawiamy wyliczone wartości

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4+\sqrt{2}}6 – \frac{4-\sqrt{2}}6 \arrowvert \textrm{  lub  }  \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4-\sqrt{2}}6 – \frac{4+\sqrt{2}}6 \arrowvert $$

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4+\sqrt{2} -4 + \sqrt{2}}6 \arrowvert \textrm{  lub  }  \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4-\sqrt{2} -4 – \sqrt{2}}6 \arrowvert $$

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{2 \sqrt{2}}6 \arrowvert \textrm{  lub  }  \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert – \frac{2 \sqrt{2}}6 \arrowvert $$

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{ \sqrt{2}}3 \arrowvert \textrm{  lub  }  \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert – \frac{ \sqrt{2}}3 \arrowvert $$

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \frac{ \sqrt{2}}3  \textrm{  lub  }  \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \frac{ \sqrt{2}}3  $$

Widzimy, że w obu przypadkach wyszła dokładnie to samo, więc

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \frac{ \sqrt{2}}3  $$

 

Rozwiązanie – sposób II:

Drugi sposób jest znacznie krótszy ale wymaga zastosowania wzoru na który nie tak łatwo wpaść.

Kąt α jest taki, że

$$ cos \alpha + sin \alpha = \frac 43$$

Podnosimy obie strony równania do kwadratu

$$ cos \alpha + sin \alpha = \frac 43 \textrm{   /²}$$

$$ cos^2 \alpha + 2sin \alpha cos \alpha + sin^2 \alpha= \frac {16}9$$

Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast cos² α + sin² α wstawiamy 1

$$ 1 + 2sin \alpha cos \alpha = \frac {16}9$$

$$  2sin \alpha cos \alpha = \frac {16}9 -1$$

$$  2sin \alpha cos \alpha = \frac 79 $$

Przechodzimy do naszej wartości bezwzględnej

$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \sqrt {(cos \alpha – sin \alpha)^2} = \sqrt {cos^2 \alpha – 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha} = $$

$$ = [\textrm{z jedynki trygonometrycznej}]= \sqrt {1 – 2 sin \alpha cos \alpha}  =$$

$$ = [\textrm{podstawiamy obliczoną wcześniej wartość}] = \sqrt {1 – \frac 79} = \sqrt { \frac 99 – \frac 79} = \sqrt { \frac 29} = \frac{\sqrt {2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}3 $$

 

To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2012 – w czerwcu (poziom rozszerzony)