Teoria potrzebna do zadania:
Zadanie:
Zadanie: Kąt α jest taki, że cosα + sin α = 4/3. Oblicz wartość wyrażenia
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert $$
Rozwiązanie – sposób I:
To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw sposób dłuższy ale chyba łatwiejszy do ogarnięcia.
Kąt α jest taki, że
$$ cos \alpha + sin \alpha = \frac 43$$
Obliczamy z powyższej równości cos α (można oczywiście wyliczyć sin α)
$$ cos \alpha = \frac 43 – sin \alpha $$
Bierzemy wzór na jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 $$
I wstawiamy do niego wyliczony cos α
$$sin^2 \alpha + (\frac 43 – sin \alpha)^2 = 1 $$
Obliczamy (podnosimy do kwadratu, porządkujemy)
$$sin^2 \alpha +\frac {16}9 – \frac 83 sin \alpha + sin^2 \alpha = 1 $$
$$2sin^2 \alpha – \frac 83 sin \alpha +\frac {7}9 = 0 $$
Zastosujmy pomocniczą zmienną t = sin α
$$2t^2 – \frac 83 t +\frac {7}9 = 0 $$
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
$$2t^2 – \frac 83 t +\frac {7}9 = 0 $$
$$ Δ = ( \frac{8}3 )^2 – 4*2* \frac 79 = \frac{64}9 – \frac {56}9 = \frac89$$
$$ \sqrt{Δ} =\sqrt {\frac89} = \frac{2 \sqrt 2}3 $$
$$ t_{1} = \frac{\frac 83 – \frac{ 2 \sqrt{2}}3}{2*2} = \frac{\frac{8-2 \sqrt{2}}3}4 = \frac{8-2 \sqrt{2}}3 * \frac 14 = \frac{8 – 2 \sqrt{2}}{12} = \frac{4 – \sqrt{2}}6$$
$$ t_{2} = \frac{\frac 83 + \frac{ 2 \sqrt{2}}3}{2*2} = \frac{\frac{8+2 \sqrt{2}}3}4 = \frac{8+2 \sqrt{2}}3 * \frac 14 = \frac{8 + 2 \sqrt{2}}{12} = \frac{4 + \sqrt{2}}6$$
Wracamy do podstawienia t = sin α
$$ sin \alpha = \frac{4 – \sqrt{2}}6 \textrm{ lub } sin \alpha = \frac{4 + \sqrt{2}}6 $$
Z warunku postawionego na początku wiemy, że:
$$ cos \alpha = \frac 43 – sin \alpha $$
Wstawiamy otrzymane wcześniej sinusy i obliczamy:
$$ cos \alpha = \frac 43 – \frac{4 – \sqrt{2}}6 \textrm{ lub } cos \alpha = \frac 43 – \frac{4 + \sqrt{2}}6 $$
$$ cos \alpha = \frac 86 – \frac{4 – \sqrt{2}}6 \textrm{ lub } cos \alpha = \frac 86 – \frac{4 + \sqrt{2}}6 $$
$$ cos \alpha = \frac{8-4 + \sqrt{2}}6 \textrm{ lub } cos \alpha =\frac{8-4 – \sqrt{2}}6 $$
$$ cos \alpha = \frac{4 + \sqrt{2}}6 \textrm{ lub } cos \alpha =\frac{4 – \sqrt{2}}6 $$
Otrzymaliśmy zatem dwie pary rozwiązań:
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
sin \alpha = \frac{4-\sqrt{2}}6\\
cos \alpha = \frac{4+\sqrt{2}}6
\end{array} \right.
$$
oraz
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
sin \alpha = \frac{4+\sqrt{2}}6\\
cos \alpha = \frac{4-\sqrt{2}}6
\end{array} \right.
$$
Przechodzimy do ostatniej części naszego zadania. Mamy obliczyć wartość wyrażenia
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert $$
Podstawiamy wyliczone wartości
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4+\sqrt{2}}6 – \frac{4-\sqrt{2}}6 \arrowvert \textrm{ lub } \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4-\sqrt{2}}6 – \frac{4+\sqrt{2}}6 \arrowvert $$
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4+\sqrt{2} -4 + \sqrt{2}}6 \arrowvert \textrm{ lub } \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{4-\sqrt{2} -4 – \sqrt{2}}6 \arrowvert $$
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{2 \sqrt{2}}6 \arrowvert \textrm{ lub } \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert – \frac{2 \sqrt{2}}6 \arrowvert $$
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert \frac{ \sqrt{2}}3 \arrowvert \textrm{ lub } \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \arrowvert – \frac{ \sqrt{2}}3 \arrowvert $$
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \frac{ \sqrt{2}}3 \textrm{ lub } \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \frac{ \sqrt{2}}3 $$
Widzimy, że w obu przypadkach wyszła dokładnie to samo, więc
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \frac{ \sqrt{2}}3 $$
Rozwiązanie – sposób II:
Drugi sposób jest znacznie krótszy ale wymaga zastosowania wzoru na który nie tak łatwo wpaść.
Kąt α jest taki, że
$$ cos \alpha + sin \alpha = \frac 43$$
Podnosimy obie strony równania do kwadratu
$$ cos \alpha + sin \alpha = \frac 43 \textrm{ /²}$$
$$ cos^2 \alpha + 2sin \alpha cos \alpha + sin^2 \alpha= \frac {16}9$$
Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast cos² α + sin² α wstawiamy 1
$$ 1 + 2sin \alpha cos \alpha = \frac {16}9$$
$$ 2sin \alpha cos \alpha = \frac {16}9 -1$$
$$ 2sin \alpha cos \alpha = \frac 79 $$
Przechodzimy do naszej wartości bezwzględnej
$$ \arrowvert cos α – sin α \arrowvert = \sqrt {(cos \alpha – sin \alpha)^2} = \sqrt {cos^2 \alpha – 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha} = $$
$$ = [\textrm{z jedynki trygonometrycznej}]= \sqrt {1 – 2 sin \alpha cos \alpha} =$$
$$ = [\textrm{podstawiamy obliczoną wcześniej wartość}] = \sqrt {1 – \frac 79} = \sqrt { \frac 99 – \frac 79} = \sqrt { \frac 29} = \frac{\sqrt {2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}3 $$
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2012 – w czerwcu (poziom rozszerzony)