1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i rozwartego

Zadanie 1.1 – kąt α jest kątem ostrym i sin α = 3/5. Podaj pozostałe wartości kątów

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

 zad1_001_tabelka1

Powyższe wartości znajdziesz również w tablicach matematycznych.

Zadanie:

Zadanie: kąt α jest kątem ostrym i \sin\;\alpha=\frac35. Podaj pozostałe wartości kątów.

Rozwiązanie

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

\sin\;\alpha=\frac35, więc przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta może być równa 3, a przeciwprostokątna może być równa 5 (lub dowolnej wielokrotności tych liczb ale dla tego zadania to nie jest istotne). Brakuje nam wartości przyprostokątnej leżącej przy kącie i to obliczymy sobie z twierdzenia Pitagorasa:

zad1_001_trojkat

32+b2 = 52

b2 = 52 – 32

b2= 25-9

b2 = 16

b=√16 = 4

Mamy już wszystkie wartości boków: a=3, b=4, c=5.

Wystarczy podstawić do wzorów:
$$ \sin\;⁡\alpha=\frac ac=\frac35 $$
$$ \cos\;⁡\alpha=\frac bc=\frac45 $$
$$ tg\;⁡\alpha=\frac ab=\frac35$$
$$ ctg\;⁡\alpha=\frac ba=\frac53 $$

To już koniec zadania ale możemy sobie powiedzieć coś jeszcze o kącie α.
$$ \sin\;⁡\alpha=\frac35=0,6$$

zad1_001_tabelka2

Możemy zatem stwierdzić, że kąt jest większy niż 30o ale mniejszy niż 45o.