Zadanie 1.3 – kąt α jest kątem ostrym i tgα = 1/2, podaj pozostałe wartości kątów.

Zadanie:

Zadanie: Kąt α jest kątem ostrym i $$\text{tg α=}\frac12$$ Podaj pozostałe wartości kątów.

Rozwiązanie

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$\text{tg α=}\frac12$$ Przyprostokątna leżąca przy kącie α może być zatem równa 2, a przyprostokątna leżąca na przeciw kąta α może być równa 1 (lub dowolnej wielokrotności tych liczb ale dla tego zadania to nie jest istotne). Brakuje nam wartości przeciwprostokątnej i to obliczymy sobie z twierdzenia Pitagorasa:

Mamy już wszystkie wartości boków: a=1, b=2, c=√5.

Wystarczy podstawić do wzorów:
$$ \sin\;⁡\alpha=\frac ac=\frac1{\sqrt5} $$

pierwiastek nie wygląda estetycznie w mianowniku, więc mnożymy otrzymany wynik przez √5/√5 i mamy

$$ \sin\;⁡\alpha=\frac ac=\frac1{\sqrt5}\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}5$$
$$ \cos\;⁡\alpha=\frac bc=\frac2{\sqrt5} $$

przekształcamy w ten sam sposób co sin α:

$$ \cos\;⁡\alpha=\frac ac=\frac2{\sqrt5}\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5$$

$$ tg\;⁡\alpha=\frac ab=\frac12=1$$
$$ ctg\;⁡\alpha=\frac ba=\frac21 =2$$

To już koniec zadania ale możemy sobie powiedzieć coś jeszcze o kącie α.
$$ tg\;⁡\alpha=\frac ab=\frac12=1$$

Możemy zatem stwierdzić, że kąt  jest mniejszy niż 30^o.