Teoria potrzebna do zadania:
$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$
$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$
Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.
Powyższe wartości znajdziesz również w tablicach matematycznych.
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż trójkąt prostokątny, w którym kąt α = 60° a przeciwprostokątna c = 13
Rozwiązanie
Rozwiąż trójkąt prostokątny, to nic innego jak podaj długości boków oraz miary kątów w trójkącie.
Wiemy, że kąt α ma 60o, bok c ma 13 cm.
Uwaga: przy tak skąpych danych, nawet bez rysunku wiemy, gdzie leżą podane wartości – jeżeli w zadaniu nie podano, że jest inaczej zakładamy, że bok a leży na przeciwko kąta α, c to przeciwprostokątna.
Szukamy wzoru trygonometrycznego w którym ten bok c występuje, weźmy
$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$
Podstawiamy znane nam wartości:
$$ \text{sin 60°=}\frac{\mathrm a}{13}$$
Wartość sin 60º odczytujemy z tabeli:
$$ \text{sin 60°=}\frac{\sqrt3}2$$
Zatem mamy równanie: $$\frac{\sqrt3}2 = \frac{\mathrm a}{13}$$
z proporcji obliczmy a:
$$a=\frac{13\sqrt3}2$$
Bok b obliczamy z funkcji cosinus, tangens, cotagens lub z twierdzenia Pitagorasa. Wybieramy to co dla nas najprostsze
Z tw. Pitagorasa:
$$(\frac{13\sqrt3}2)^2+b^2=13^2$$
$$\frac{169*3}4+b^2=169$$
$$b^2=169-\frac{169*3}4$$
$$b^2=169(1-\frac34)$$
$$b^2=169*\frac14$$
$$b^2=\frac{169}4$$
$$b=\sqrt{\frac{169}4}$$
$$b=\frac{13}2$$
Znamy już zatem wszystkie długości boków i miarę dwóch kątów, potrzebujemy jeszcze miarę trzeciego kąta.
Wiadomo, że suma kątów w trójkącie jest zawsze równa 180. Zatem β = 180 – 90 – 60 = 30o
Odpowiedź:
Boki trójkąta mają długości: $$\frac{13\sqrt3}2,\frac{13}2,13 $$ miary kątów to: 30º, 60º i 90º.