Zadanie 1.5 – rozwiąż trójkąt prostokątny, w którym kąt α = 60° a przeciwprostokątna c = 13

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

zad1_001_tabelka1

Powyższe wartości znajdziesz również w tablicach matematycznych.

Zadanie:

Zadanie: Rozwiąż trójkąt prostokątny, w którym kąt α = 60° a przeciwprostokątna c = 13

Rozwiązanie

zad1_005_trojkat

Rozwiąż trójkąt prostokątny, to nic innego jak podaj długości boków oraz miary kątów w trójkącie.

Wiemy, że kąt α ma 60o, bok c ma 13 cm.

Uwaga: przy tak skąpych danych, nawet bez rysunku wiemy, gdzie leżą podane wartości – jeżeli w zadaniu nie podano, że jest inaczej zakładamy, że bok a leży na przeciwko kąta α, c to przeciwprostokątna.

Szukamy wzoru trygonometrycznego w którym ten bok c występuje, weźmy

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

Podstawiamy znane nam wartości:

$$ \text{sin 60°=}\frac{\mathrm a}{13}$$

Wartość sin 60º odczytujemy z tabeli:

zad1_001_tabelka1

 

 

$$ \text{sin 60°=}\frac{\sqrt3}2$$

Zatem mamy równanie: $$\frac{\sqrt3}2 = \frac{\mathrm a}{13}$$

z proporcji obliczmy a:

$$a=\frac{13\sqrt3}2$$

Bok b obliczamy z funkcji cosinus, tangens, cotagens lub z twierdzenia Pitagorasa. Wybieramy to co dla nas najprostsze

Z tw. Pitagorasa:

$$(\frac{13\sqrt3}2)^2+b^2=13^2$$

$$\frac{169*3}4+b^2=169$$

$$b^2=169-\frac{169*3}4$$

$$b^2=169(1-\frac34)$$

$$b^2=169*\frac14$$

$$b^2=\frac{169}4$$

$$b=\sqrt{\frac{169}4}$$

$$b=\frac{13}2$$

Znamy już zatem wszystkie długości boków i miarę dwóch kątów, potrzebujemy jeszcze miarę trzeciego kąta.

Wiadomo, że suma kątów w trójkącie jest zawsze równa 180. Zatem β = 180 – 90 – 60 = 30o

Odpowiedź:

Boki trójkąta mają długości: $$\frac{13\sqrt3}2,\frac{13}2,13 $$ miary kątów to: 30º, 60º i 90º.