Teoria potrzebna do zadania:
$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$
$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$
Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.
$$\textrm{tgα = } \frac{\textrm{sinα}}{\textrm{cosα}}$$
Zadanie:
Zadanie: W trójkącie prostokątnym, kąty mają miary α i β a długość przeciwprostokątnej wynosi 10 cm.
Ponadto
$$ sin\alpha + sin\beta = \frac 75 $$
$$ sin\alpha – sin\beta = \frac 15 $$
Wówczas:
$$ \textrm{A. } tg\alpha = \frac52 \textrm{, B. } tg\alpha = \frac 34 \textrm{, C. } tg\alpha = \frac35 \textrm{, D. }tg\alpha =\frac 43 $$
Rozwiązanie:
Przyjrzyjmy się najpierw naszym warunkom:
$$ sin\alpha + sin\beta = \frac 75 $$
$$ sin\alpha – sin\beta = \frac 15 $$
Dodajmy je do siebie stronami
$$ sin\alpha + sin\beta = \frac 75 $$
$$ \underline{ sin\alpha – sin\beta = \frac 15}_{\textrm{+}} $$
$$ sin\alpha + sin\beta + sin\alpha – sin\beta = \frac 75 + \frac 15 $$
$$ 2sin\alpha = \frac 85 \textrm{ /: 2}$$
$$ sin\alpha = \frac 85 * \frac 12$$
$$ sin\alpha = \frac 8 {10} $$
Pamiętajmy, że
$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$
Skoro długość przeciwprostokątnej znamy i wynosi ona 10 to długość przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α musi być równa 8. Długość drugiej przyprostokątnej obliczymy z twierdzenia Paitagorasa.
82+b2 = 102
b2 = 102 – 82
b2= 100-64
b2 = 36
b=6
Mamy już wszystkie wartości boków: a=8, b=6, c=10.
Wystarczy podstawić do wzoru:
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
$$ \text{tg α=} \frac ab = \frac 86 = \frac 43 $$
Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź D
$$ tg\alpha =\frac 43 $$
To już koniec zadania. Podobne zadanie pojawiło się na próbnej maturze w roku 2016 (poziom podstawowy)