Zadanie MATURA PRÓBNA: Kąt α jest ostry i cos²α – sin²α = 1/2. W jakim przedziale mieści się miara kata α? (p. podstawowy)

Teoria potrzebna do zadania:

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1, \textrm{ dla α∈R} $$

Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²α = 1 – cos²α oraz cos²α = 1 – sin²α

Wartości funkcji trygonometrycznych dla 0º, 30º, 45º, 60º, 90º

stopnie	0º	30º	45º	60º	90º
sin α	0	1/2	√2/2	√3/2	1

Zadanie:

$$cos^2 \alpha – sin^2 \alpha = \frac 12 $$

Wówczas:

$$ \textrm{A. } 0º <\alpha < 15º \textrm{, B. } 16º < \alpha < 40º \textrm{, C. } 41º < \alpha < 65º \textrm{, D. } 66º <\alpha > 90º $$

Rozwiązanie:

$$cos^2 \alpha – sin^2 \alpha = \frac 12 $$

Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną

$$ \underbrace{cos^2 \alpha }_{1-sin^2 \alpha} – sin^2 \alpha = \frac 12 $$

$$ 1-sin^2 \alpha – sin^2 \alpha = \frac 12 $$

$$ 1- 2sin^2 \alpha = \frac 12 $$

$$ – 2sin^2 \alpha = \frac 12 -1 \textrm{ \: -2}$$

$$ sin^2 \alpha = \frac 14 $$

$$ sin \alpha = \frac 12 $$

Z tablic matematycznych odczytujemy, że sin α = 1/2 dla α = 30°

Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź B

To już koniec zadania. Podobne zadanie pojawiło się na próbnej maturze w roku 2016 (poziom podstawowy)