Zadanie 1.4 – rozwiąż trójkąt prostokątny, w którym kąt α = 30° a przyprostokątna a = 8

 

Teoria potrzebna do zadania:

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

Powyższe wartości znajdziesz również w tablicach matematycznych.

Rozwiąż trójkąt prostokątny, to nic innego jak podaj długości boków oraz miary kątów w trójkącie.

Wiemy, że kąt  α ma 30^o, bok a ma  8 cm.

Uwaga: przy tak skąpych danych, nawet bez rysunku wiemy, gdzie leżą podane wartości – jeżeli w zadaniu nie podano, że jest inaczej zakładamy, że bok a leży na przeciwko kąta α

Szukamy wzoru trygonometrycznego w którym ten bok występuje, weźmy

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

Podstawiamy znane nam wartości:

$$ \text{sin 30°=}\frac8{\mathrm c}$$

Wartość  sin 30º odczytujemy z tabeli:

 

 

$$ \text{sin 30°=}\frac12$$

Zatem mamy równanie: $$\frac12 = \frac8{\mathrm c}$$

z proporcji obliczmy c:

c=2*8/1=16

c = 16

Bok b obliczamy z funkcji cosinus, tangens, cotagens lub z twierdzenia Pitagorasa. Wybieramy to co dla nas najprostsze

Z tw. Pitagorasa:

8²+b²=16²

b²=16²-8²

b²=256-64

b²=192

b =√192 = 8√3

Znamy już zatem wszystkie długości boków i miarę dwóch kątów, potrzebujemy jeszcze miarę trzeciego kąta.

Wiadomo, że suma kątów w trójkącie jest zawsze równa 180. Zatem β = 180 – 90 – 30 = 60^o

Odpowiedź:

Boki trójkąta mają długości: 8, 8√3 i 16, miary kątów to: 30º, 60º i 90º.