1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i rozwartego

Zadanie 1.2 – kąt α jest kątem ostrym i cos α = √2/2.

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

zad1_001_tabelka1

Powyższe wartości znajdziesz również w tablicach matematycznych.

Zadanie:

Zadanie: kąt α jest kątem ostrym i \cos\;\alpha=\frac {\sqrt2}2. Podaj pozostałe wartości kątów.

Rozwiązanie

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

\cos\;\alpha=\frac{\sqrt2}2, więc przyprostokątna leżąca przy kącie α może być równa √2, a przeciwprostokątna może być równa 2 (lub dowolnej wielokrotności tych liczb ale dla tego zadania to nie jest istotne). Brakuje nam wartości przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α i to obliczymy sobie z twierdzenia Pitagorasa:

zad1_002_trojkat

√22+a2 = 22

a2 = 22 – √22

b2= 4-2

b2 = 2

b=√2

Mamy już wszystkie wartości boków: a=√2, b=√2, c=2.

Wystarczy podstawić do wzorów:
$$ \sin\;⁡\alpha=\frac ac=\frac{\sqrt2}2 $$
$$ \cos\;⁡\alpha=\frac bc=\frac{\sqrt2}2 $$
$$ tg\;⁡\alpha=\frac ab=\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=1$$
$$ ctg\;⁡\alpha=\frac ba=\frac{\sqrt2}{\sqrt2} =1$$

To już koniec zadania ale możemy sobie powiedzieć coś jeszcze o kącie α.
$$ \sin\;⁡\alpha=\frac{\sqrt2}2≈0,71$$

zad1_002_tabelka2

Możemy zatem stwierdzić, że kąt α jest równy 45o.