Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż nierówność sinx – √3/2 < 0 w przedziale <0, 2π>
Rozwiązanie:
Mamy do rozwiązania następującą nierówność:
$$ sinx – \frac{\sqrt{3}}2<0$$
Pozostawiamy funkcję trygonometryczną po lewej stronie a liczbę przenosimy na prawą stronę.
$$ sinx < \frac{\sqrt{3}}2$$
Rozwiązujemy najpierw równanie trygonometryczne
$$ sinx =\frac{\sqrt{3}}2$$
W tablicach matematycznych sprawdzamy dla jakiego x powyższe równanie jest spełnione, okazuje się, że dla x = π/3+kπ
Z wykresu odczytujemy wszystkie wartości dla których powyższe równanie jest spełnione w przedziale <0, 2π>
Widzimy, że w przedziale <0, 2π>, sinx = √3/2 dla x = π/3 i x=2π/3 (π-π/3)
Pamiętajmy, że ostatecznie mamy rozwiązać nierówność trygonometryczną a nie równanie.
$$ sinx < \frac{\sqrt{3}}2$$
Zacieniujmy sobie obszar wykresu od 0 do 2π poniżej prostej y = √3/2
W związku z tym, że mamy wyznaczyć wartości funkcji sinus mniejsze niż √3/2 zaznaczmy te obszary, które znajdują się pod zadaną wartością.
Widzimy teraz, że $$ sinx < \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{, w przedziale <0, 2π>}$$ $$ \textrm{ dla } 0 ≥ x > \frac{\pi}3 \textrm{ oraz } \frac{2\pi}3>x≥2\pi$$
Inaczej możemy zapisać, że $$ x∈<0,\frac{\pi}3) \cup (\frac{2\pi}3, 2\pi>$$
Uwaga na nawiasy oraz znaki nierówności. Mieliśmy zbadać wynik nierówności w przedziale <0, 2π> – zapis ten oznacza, że sprawdzamy wewnątrz przedziału oraz przy 0 i 2π, dlatego też w wyniku przy tych dwóch wartościach używamy nawiasu zamkniętego lub jednego ze znaków ≥ ≤. W samym zadaniu zaś pytamy o punkty, w których sinusx jest mniejszy (nie mniejszy lub równy) od zadanej wartości – stąd używamy nawiasów )( lub znaków ><.