Zadanie 4.1 Rozwiąż nierówność sinx – √3/2 < 0 w przedziale <0, 2π>

 

Teoria potrzebna do zadania:

Wykres funkcji y=sin x

sinx

Zadanie:

Zadanie: Rozwiąż nierówność sinx – √3/2 < 0 w przedziale <0, 2π>

Rozwiązanie:

 Mamy do rozwiązania następującą nierówność:

$$ sinx – \frac{\sqrt{3}}2<0$$

Pozostawiamy funkcję trygonometryczną po lewej stronie a liczbę przenosimy na prawą stronę.

$$ sinx < \frac{\sqrt{3}}2$$

Rozwiązujemy najpierw równanie trygonometryczne

$$ sinx =\frac{\sqrt{3}}2$$

W tablicach matematycznych sprawdzamy dla jakiego x powyższe równanie jest spełnione, okazuje się, że dla x = π/3+kπ

Z wykresu odczytujemy wszystkie wartości dla których powyższe równanie jest spełnione w przedziale <0, 2π>

zadanie_sinus_6_01a

Widzimy, że w przedziale <0, 2π>, sinx = √3/2 dla x = π/3 i x=2π/3 (π-π/3)

Pamiętajmy, że ostatecznie mamy rozwiązać nierówność trygonometryczną a nie równanie.

$$ sinx < \frac{\sqrt{3}}2$$

Zacieniujmy sobie obszar wykresu od 0 do 2π poniżej prostej y = √3/2

zadanie_sinus_6_01b

W związku z tym, że mamy wyznaczyć wartości funkcji sinus mniejsze niż √3/2 zaznaczmy te obszary, które znajdują się pod zadaną wartością.

zadanie_sinus_6_01c

Widzimy teraz, że $$ sinx < \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{, w przedziale <0, 2π>}$$ $$  \textrm{   dla } 0 ≥ x >  \frac{\pi}3 \textrm{  oraz  } \frac{2\pi}3>x≥2\pi$$

Inaczej możemy zapisać, że $$ x∈<0,\frac{\pi}3) \cup (\frac{2\pi}3, 2\pi>$$

Uwaga na nawiasy oraz znaki nierówności. Mieliśmy zbadać wynik nierówności w przedziale <0, 2π> – zapis ten oznacza, że sprawdzamy wewnątrz przedziału oraz przy 0 i 2π, dlatego też w wyniku przy tych dwóch wartościach używamy nawiasu zamkniętego lub jednego ze znaków ≥ ≤. W samym zadaniu zaś pytamy o punkty, w których sinusx jest mniejszy (nie mniejszy lub równy) od zadanej wartości – stąd używamy nawiasów )( lub znaków ><.