Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Funkcja kwadratowa:
at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R
Δ =b² – 4ac
$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie 7sinx – 6cos²x = -1Rozwiązanie:
Podejrzewamy, że będziemy mieć do czynienia z funkcją kwadratową ale najpierw doprowadzamy do tego, że w równaniu jest tylko jeden rodzaj funkcji trygonometrycznej – korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast cos²x wstawiamy 1 – sin²x.
- 7sinx – 6cos²x = -17sinx – 6(1 – sin²x) = -1
7sinx – 6 + 6sin²x = -1
Przenosimy wszystko na lewą stronę równania i układamy zaczynając od najwyższej potęgi:
6sin²x +7sinx -5 =0
Jeżeli widzimy funkcję trygonometryczną podniesioną do kwadratu oraz tą samą funkcję trygonometryczną w pierwszej potędze (i ewentualnie jakąś liczbę do tego) zawsze będziemy mieli do czynienia z funkcją kwadratową
Dla ułatwienia zamiast sinx podstawimy t
Pamiętajmy, że sin²x = (sinx)²
t = sinx, więc nasze równanie wygląda tak:
6t² + 7t – 5 = 0
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
6t² + 7t – 5 = 0
Δ = (7)²-4*6*(-5)
Δ = 49+120
Δ = 169
√Δ = 13
$$ t_{1} = \frac{-7-13}{2*6}\textrm{, }t_{2} = \frac{-7+13}{2*6}$$
$$ t_{1} = \frac{-20}{12}\textrm{, }t_{2} = \frac{6}{12}$$
Skracamy otrzymane ułamki
$$ t_{1} = \frac{-5}{3}\textrm{, }t_{2} = \frac{1}{2}$$
Wracamy do naszego podstawienia t = sinx
$$ sinx = \frac{-5}{3}\textrm{ lub }sinx = \frac{1}{2}$$
Wiemy, że wartości funkcji trygonometrycznej sinx mieszczą się w przedziale <-1,1>, dlatego też odrzucamy wynik sinx = -5/3 (bo jest to wartość mniejsza niż -1)
Zostaje nam rozwiązanie $$ sinx = \frac{1}{2}$$
Sprawdzamy dla jakich x funkcja trygonometryczna sinx jest równa 1/2.
Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że sinx =1/2 dla x =π/6.
Z wykresu odczytujemy, że sinx = 1/2 również dla x = π – π/6
Pamiętając, że okres funkcji trygonometrycznej sinus wynosi 2π mamy następujące rozwiązanie:
$$sinx = \frac{1}2, \textrm{dla x}=\frac{π}6 + \textrm{2kπ lub x}=π -\frac{π}6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$
$$sinx = \frac{1}2, \textrm{dla x}=\frac{π}6 + \textrm{2kπ lub x}=\frac{5π}6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$
Zapis k∈C oznacza, że zamiast k możesz wstawić dowolną liczbę całkowitą
Rozwiązanie zatem jest następujące:
$$sinx = \frac{1}2, \textrm{dla x}=\frac{π}6 + \textrm{2kπ lub x}=\frac{5π}6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$