Zadanie 3.5 Rozwiąż równanie 7sinx – 6cos²x = -1

Teoria potrzebna do zadania:

 

Wykres funkcji y=sin x

 

 

sinx

Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1

Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x

Funkcja kwadratowa:

at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R

Δ =b² – 4ac

$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Zadanie:

Zadanie: Rozwiąż równanie 7sinx – 6cos²x = -1Rozwiązanie:

 Podejrzewamy, że będziemy mieć do czynienia z funkcją kwadratową ale najpierw doprowadzamy do tego, że w równaniu jest tylko jeden rodzaj funkcji trygonometrycznej – korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast cos²x wstawiamy 1 – sin²x.

  1. 7sinx – 6cos²x = -17sinx – 6(1 – sin²x) = -1

    7sinx – 6 + 6sin²x = -1

    Przenosimy wszystko na lewą stronę równania i układamy zaczynając od najwyższej potęgi:

 6sin²x +7sinx -5 =0

Jeżeli widzimy funkcję trygonometryczną podniesioną do kwadratu oraz tą samą funkcję trygonometryczną w pierwszej potędze (i ewentualnie jakąś liczbę do tego) zawsze będziemy mieli do czynienia z funkcją kwadratową

Dla ułatwienia zamiast sinx podstawimy t

Pamiętajmy, że sin²x = (sinx)²

t = sinx, więc nasze równanie wygląda tak:

6t² + 7t – 5 = 0

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

 

6t² + 7t – 5 = 0

Δ = (7)²-4*6*(-5)

Δ = 49+120

Δ = 169

√Δ = 13

$$ t_{1} = \frac{-7-13}{2*6}\textrm{, }t_{2} = \frac{-7+13}{2*6}$$

$$ t_{1} = \frac{-20}{12}\textrm{, }t_{2} = \frac{6}{12}$$

Skracamy otrzymane ułamki

$$ t_{1} = \frac{-5}{3}\textrm{, }t_{2} = \frac{1}{2}$$

Wracamy do naszego podstawienia t = sinx

$$ sinx = \frac{-5}{3}\textrm{ lub }sinx = \frac{1}{2}$$

Wiemy, że wartości funkcji trygonometrycznej sinx mieszczą się w przedziale <-1,1>, dlatego też odrzucamy wynik sinx = -5/3 (bo jest to wartość mniejsza niż -1)

Zostaje nam rozwiązanie $$ sinx = \frac{1}{2}$$

Sprawdzamy dla jakich x funkcja trygonometryczna sinx jest równa 1/2.

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że sinx =1/2 dla x =π/6.

Z wykresu odczytujemy, że sinx = 1/2 również dla x = π – π/6

zad_6_5

Pamiętając, że okres funkcji trygonometrycznej sinus wynosi 2π mamy następujące rozwiązanie:

$$sinx = \frac{1}2, \textrm{dla x}=\frac{π}6 + \textrm{2kπ lub x}=π -\frac{π}6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$

$$sinx = \frac{1}2, \textrm{dla x}=\frac{π}6 + \textrm{2kπ lub x}=\frac{5π}6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$

Zapis k∈C oznacza, że zamiast k możesz wstawić dowolną liczbę całkowitą

Rozwiązanie zatem jest następujące:

$$sinx = \frac{1}2, \textrm{dla x}=\frac{π}6 + \textrm{2kπ lub x}=\frac{5π}6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$