Teoria potrzebna do zadania:
$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$
$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$
Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.
Zadanie:
Zadanie: Kąt α jest ostry i tgα = 2/3. Wtedy:
$$ \textrm{A. }sinα = \frac{3\sqrt{13}}{26} \textrm{, B. }sinα = \frac{\sqrt{13}}{13} \textrm{, C. }sinα = \frac{2\sqrt{13}}{13} \textrm{, D. }sinα = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$
Rozwiązanie
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
Pamiętaj: kąt α leży zawsze na przeciwko boku a, kąt β leży zawsze na przeciwko boku b (chyba, że w treści zadania masz wyraźną informację, że jest inaczej)
Tgα = 2/3, więc przyprostokątna leżąca przy kącie α może być równa 3, a przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α może być równa 3 (lub dowolnej wielokrotności tych liczb ale dla tego zadania to nie jest istotne). Brakuje nam wartości przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α i to obliczymy sobie z twierdzenia Pitagorasa:
22+32 = c2
4 + 9 = c2
c2 = 13
b=√13
Mamy już wszystkie wartości boków: a=2, b=3, c=√13.
Wystarczy podstawić do wzoru:
$$ \sin\;\alpha=\frac ac=\frac2{\sqrt{13}} $$
Pozostawienie pierwiastka w mianowniku nie jest zbyt estetyczne, dlatego mnożymy wszystko przez √13/√13
$$ \sin\;\alpha=\frac2{\sqrt{13}} \textrm{ \*} \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} $$
$$ \sin\;\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}*\sqrt{13}}$$
$$ \sin\;\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$
Zatem w zadaniu maturalnym prawidłowa odpowiedź to C.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2016, poziom podstawowy.