Zadanie MATURA 2016: Kąt α jest ostry i tgα = 2/3. Podaj wartość sinα. (p. podstawowy)

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

Zadanie:

Zadanie: Kąt α jest ostry i tgα = 2/3. Wtedy:

$$ \textrm{A. }sinα = \frac{3\sqrt{13}}{26} \textrm{,     B. }sinα = \frac{\sqrt{13}}{13} \textrm{,     C. }sinα = \frac{2\sqrt{13}}{13} \textrm{,     D. }sinα = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Rozwiązanie

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

Pamiętaj: kąt α leży zawsze na przeciwko boku a, kąt β leży zawsze na przeciwko boku b (chyba, że w treści zadania masz wyraźną informację, że jest inaczej)

Tgα = 2/3, więc przyprostokątna leżąca przy kącie α może być równa 3, a przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α może być równa 3 (lub dowolnej wielokrotności tych liczb ale dla tego zadania to nie jest istotne). Brakuje nam wartości przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α i to obliczymy sobie z twierdzenia Pitagorasa:

zadanie_1_6

22+32 = c2

4 + 9 = c2

c2 = 13

b=√13

Mamy już wszystkie wartości boków: a=2, b=3, c=√13.

Wystarczy podstawić do wzoru:
$$ \sin\;⁡\alpha=\frac ac=\frac2{\sqrt{13}} $$

Pozostawienie pierwiastka w mianowniku nie jest zbyt estetyczne, dlatego mnożymy wszystko przez √13/√13

$$ \sin\;⁡\alpha=\frac2{\sqrt{13}} \textrm{ \*} \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} $$

$$ \sin\;⁡\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}*\sqrt{13}}$$

$$ \sin\;⁡\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Zatem w zadaniu maturalnym prawidłowa odpowiedź to C.

Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2016, poziom podstawowy.