Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wzór na jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2 x + cos^2 x = 1, \textrm{ dla x∈R} $$
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Funkcja kwadratowa:
at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R
Δ =b² – 4ac
$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Zadanie:
Zadanie: Wyznacz wszystkie rozwiązania równana 2cos²x – 5sinx-4 = 0 należące do przedziału <0, 2π>
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Mamy równanie:
$$2cos^2 x – 5sinx – 4 =0$$
Korzystając z wzoru na jedynkę trygonometryczną doprowadzamy do tego, że w równainiu jest tylko jeden rodzaj funkcji trygonometrycznej.
$$2 \underbrace{cos^2 x}_{1-sin^2 x } – 5sinx – 4 =0$$
$$2 (1-sin^2 x) – 5sinx – 4 =0$$
$$ 2- 2sin^2 x – 5sinx – 4 =0$$
$$ – 2sin^2 x – 5sinx – 2 =0 \textrm{ \*(-1)} $$
$$ 2sin^2 x + 5sinx + 2 =0 $$
Wprowadzamy pomocniczą zmienną t=sinx t∈<-1,1>
$$ 2t^2 + 5t + 2 =0 $$
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
Δ = (5)²-4*2*2
Δ = 25-16
Δ = 9
√Δ = 3
$$ t_{1} = \frac{-5-3}{2*2}\textrm{, }t_{2} = \frac{-5+3}{2*2}$$
$$ t_{1} = -2 \textrm{, }t_{2} = \frac{-1}{2}$$
Wracamy do funkcji sinx
$$ sinx = -2 \textrm{, lub }sinx = \frac{-1}{2}$$
Równanie sinx = -2 nie ma rozwiązań (ponieważ sinx mieści się pomiędzy -1 a 1). Rozwiązujemy drugie równanie
$$sinx = \frac{-1}{2}$$
Z tablic matematycznych oraz wykresu odczytujemy rozwiązania – wystarczą nam te mieszczące się w przedziale <0, 2π>
Rozwiązanie:
$$ x ∈ \{ \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6} \} $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w maju roku 2010, poziom rozszerzony.