Teoria potrzebna do zadania:
$$ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1, \textrm{ dla } \alpha∈R \textrm{ (tzw jedynka trygonometryczna)}$$
Zadanie:
Zadanie: Kąt α jest ostry i
$$ \frac{sin \alpha}{cos \alpha} + \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = 2 $$
Oblicz wartość wyrażenia
$$sin \alpha \cdot cos \alpha $$
Rozwiązanie
Przekształcamy podany warunek
$$ \frac{sin \alpha}{cos \alpha} + \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = 2 $$
$$ \frac{sin \alpha \cdot sin \alpha }{cos \alpha \cdot sin \alpha} + \frac{cos \alpha \cdot cos \alpha }{sin \alpha \cdot cos \alpha } = 2 $$
$$ \frac{sin^2 \alpha }{sin \alpha cos \alpha } + \frac{cos^2 \alpha }{sin \alpha cos \alpha } = 2 $$
$$ \frac{sin^2 \alpha + cos^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha } = 2 $$
$$ \frac{\underbrace{sin^2 \alpha + cos^2 \alpha}_{1}}{sin \alpha cos \alpha } = 2 $$
$$ \frac{1}{sin \alpha cos \alpha } = 2 \textrm{ \ } \cdot sin \alpha cos \alpha $$
$$ 1 = 2 sin \alpha cos \alpha\textrm{ \:2} $$
$$ \frac 12 = sin \alpha cos \alpha $$
I mamy obliczoną wartość wyrażenia o które pytają nas w zadaniu:
$$ sin \alpha cos \alpha = \frac 12 $$
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w maju 2011 – poziom podstawowy.