Teoria potrzebna do zadania:
$$ \textrm{sin²x + cos²x = 1, dla x∈R (tzw jedynka trygonometryczna)}$$
$$tgx=\frac{sinx}{cosx} \textrm{ dla x≠}\frac{\pi}2 + k\pi \textrm{, k∈C}$$
Zadanie:
Zadanie: Kąt α jest ostry i cosα = 5/13. Wtedy
$$ \textrm{A. } sin \alpha = \frac{12}{13} \textrm{, oraz } tg \alpha = \frac{12}{5} $$
$$ \textrm{B. } sin \alpha = \frac{12}{13} \textrm{, oraz } tg \alpha = \frac{5}{12} $$
$$ \textrm{C. } sin \alpha = \frac{12}{5} \textrm{, oraz } tg \alpha = \frac{12}{13} $$
$$ \textrm{D. } sin \alpha = \frac{5}{12} \textrm{, oraz } tg \alpha = \frac{12}{13} $$Rozwiązanie
Chcemy obliczyć sinα i tgα mając dane cosα = 5/13
Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną
$$ sin^2x+cos^2x = 1$$
$$ sin^2x+(\frac{5}{13})^2 = 1$$
$$ sin^2x+\frac{25}{169} = 1$$
$$ sin^2x = 1- \frac{25}{169}$$
$$ sin^2x = \frac{169}{169}- \frac{25}{169}$$
$$ sin^2x = \frac{144}{169}$$
$$ sinx = \frac{12}{13}$$
Teraz korzystamy z wzoru na tangens
$$tgx=\frac{sinx}{cosx} $$
$$tgx=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} $$
$$tgx=\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} $$
$$tgx=\frac{12}{5} $$
Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź A
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w maju 2011 – poziom podstawowy.