Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wykres funkcji y = cosx
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Uwalnianie mianownika z pierwiastka:
$$ \sqrt{\frac 12} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie 2sin²x – 2sin²x cosx = 1-cosx w przedziale <0, 2π>Rozwiązanie – sposób I:
Mamy równanie:
$$2sin^2 x – 2sin^2 x cosx = 1-cosx $$
Przekształcamy je
$$2sin^2 x (1- cosx) = 1-cosx $$
$$2sin^2 x (1- cosx) – (1-cosx) = 0 $$
$$(1- cosx)(2sin^2 x – 1) = 0 $$
Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa 0, więc:
$$(1- cosx)(2sin^2 x – 1) = 0 $$
$$\textrm{ gdy } 1- cosx = 0 \textrm{ lub } 2sin^2 x – 1 = 0 $$
$$ cosx = 1 \textrm{ lub } sin^2 x = \frac 12 $$
$$ cosx = 1 \textrm{ lub } sinx = \sqrt{\frac 12} \textrm{ lub } sinx =- \sqrt{\frac 12} $$
$$ cosx = 1 \textrm{ lub } sinx = \frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ lub } sinx =- \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Z tablic matematycznych i wykresu odczytujemy rozwiązania:
wykres
$$ cosx = 1 \textrm{ dla } x= 0+2k \pi \textrm{ , w przedziale <0,2π>} x∈\{0, 2 \pi \}$$
$$ sinx = \frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ dla } x= \frac{\pi}{4} + 2k \pi \textrm{ oraz } x= \pi – \frac{\pi}{4} + 2k \pi $$
$$ \textrm{ w przedziale <0,2π>} x∈\{\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4} \} $$
$$ sinx =- \frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ dla } x= \pi + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \textrm{ oraz } x= 2 \pi – \frac{\pi}{4} + 2k \pi $$
$$\textrm{w przedziale <0,2π>} x∈\{\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \} $$
Zatem rozwiązanie jest następujące:
$$2sin^2 x – 2sin^2 x cosx = 1-cosx $$
$$ \textrm{w przedziale <0,2π> dla } x∈\{0, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}, 2 \pi \}$$
Rozwiązanie – sposób II:
Mamy równanie:
$$2sin^2 x – 2sin^2 x cosx = 1-cosx $$
Przekształcamy je – tym razem doprowadzamy do tego, że w równaniu jest tylko jedn rodzaj funkcji trygonometrycznej
Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną:
$$ sin^2 x = 1 – cos^2 x $$
$$2\underbrace{sin^2 x}_{1 – cos^2 x} – 2\underbrace{sin^2 x}_{1 – cos^2 x} cosx = 1-cosx $$
$$2(1 – cos^2 x) – 2(1 – cos^2 x) cosx = 1-cosx $$
$$2 – 2cos^2 x – 2cosx +2 cos^3 x – 1+ cosx =0 $$
$$ 2 cos^3 x – 2cos^2 x- cosx +1 = 0 $$
$$ 2 cos^2 x (cosx – 1)- (cosx -1) = 0 $$
$$ (cosx – 1)(2 cos^2 x – 1) = 0 $$
Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa 0, więc:
$$ (cosx – 1)(2 cos^2 x – 1) = 0 $$
$$\textrm{ gdy } cosx-1 = 0 \textrm{ lub } 2cos^2 x – 1 = 0 $$
$$ cosx = 1 \textrm{ lub } cos^2 x = \frac 12 $$
$$ cosx = 1 \textrm{ lub } cosx = \sqrt{\frac 12} \textrm{ lub } cosx =- \sqrt{\frac 12} $$
$$ cosx = 1 \textrm{ lub } cosx = \frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ lub } cosx =- \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Z tablic matematycznych i wykresu odczytujemy rozwiązania:
wykres
$$ cosx = 1 \textrm{ dla } x= 0+2k \pi \textrm{ , w przedziale <0,2π>} x∈\{0, 2 \pi \}$$
$$ cosx = \frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ dla } x= \frac{\pi}{4} + 2k \pi \textrm{ oraz } x=2 \pi – \frac{\pi}{4} + 2k \pi $$
$$ \textrm{w przedziale <0,2π>} x∈\{\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \} $$
$$ cosx =- \frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ dla } x= \pi – \frac{\pi}{4} + 2k \pi \textrm{ oraz } x= \pi + \frac{\pi}{4} + 2k \pi $$
$$ \textrm{w przedziale <0,2π>} x∈\{\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \} $$
Zatem rozwiązanie jest następujące:
$$2sin^2 x – 2sin^2 x cosx = 1-cosx $$
$$ \textrm{w przedziale <0,2π> dla } x∈\{0, \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}, 2 \pi \}$$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w maju roku 2011, poziom rozszerzony.