Zadanie MATURA 2012: Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30º. Jaką długość ma dłuższy bok prostokąta? (p. podstawowy)

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

 

Zadanie:

Zadanie: Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30º. Dłuższy bok prostokąta ma długość

$$ \textrm{A.  } 2\sqrt{3} \textrm{,       B.  } 4\sqrt{3} \textrm{,       C.  }  6\sqrt{3} \textrm{,       D. } 12 $$

 

Rozwiązanie:

Oznaczmy podane wartości na rysunku.

zadanie-matura-2012-prostokat

Mamy dany kąt α i przyprostokątną na przeciw kąta α a chcemy obliczyć przyprostokątną przy kącie α. Wybieramy zatem funkcję trygonometryczną tangens lub cotangens i podstawiamy do wzoru. Ja wybiorę tangens.

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \textrm{tg} \alpha = \frac ab $$

$$ \textrm{tg 30º}  = \frac 6b $$

Podstawiamy odczytaną z tablic matematycznych wartość tg 30º

$$ \frac{\sqrt{3}}{3}  = \frac 6b $$

Z proporcji obliczamy b

$$ \frac{\sqrt{3}}{3}  = \frac 6b \Rightarrow \sqrt{3}b = 6*3 $$

$$\sqrt{3}b = 18 \textrm{ \:} \sqrt{3}$$

$$ b= \frac{18}{\sqrt{3}}$$

Mnożymy lewą stronę przez √3/√3 (możemy to zrobić ponieważ √3/√3 = 1 a ta operacja pozwoli nam pozbyć się pierwiastka z mianownika)

$$ b= \frac{18}{\sqrt{3}}* \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac {18 \sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}} = \frac {18 \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

$$ b= 6\sqrt{3}$$

Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź C

$$ b= 6\sqrt{3}$$

To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2012 (poziom podstawowy)