Teoria potrzebna do zadania:
$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$
$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$
Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.
Zadanie:
Zadanie: Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30º. Dłuższy bok prostokąta ma długość
$$ \textrm{A. } 2\sqrt{3} \textrm{, B. } 4\sqrt{3} \textrm{, C. } 6\sqrt{3} \textrm{, D. } 12 $$
Rozwiązanie:
Oznaczmy podane wartości na rysunku.
Mamy dany kąt α i przyprostokątną na przeciw kąta α a chcemy obliczyć przyprostokątną przy kącie α. Wybieramy zatem funkcję trygonometryczną tangens lub cotangens i podstawiamy do wzoru. Ja wybiorę tangens.
$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$
$$ \textrm{tg} \alpha = \frac ab $$
$$ \textrm{tg 30º} = \frac 6b $$
Podstawiamy odczytaną z tablic matematycznych wartość tg 30º
$$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac 6b $$
Z proporcji obliczamy b
$$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac 6b \Rightarrow \sqrt{3}b = 6*3 $$
$$\sqrt{3}b = 18 \textrm{ \:} \sqrt{3}$$
$$ b= \frac{18}{\sqrt{3}}$$
Mnożymy lewą stronę przez √3/√3 (możemy to zrobić ponieważ √3/√3 = 1 a ta operacja pozwoli nam pozbyć się pierwiastka z mianownika)
$$ b= \frac{18}{\sqrt{3}}* \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac {18 \sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}} = \frac {18 \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$
$$ b= 6\sqrt{3}$$
Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź C
$$ b= 6\sqrt{3}$$
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2012 (poziom podstawowy)