1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i rozwartego, Poziom podstawowy

Zadanie MATURA 2012: W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Oblicz sinα i cosα. (p. podstawowy)

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Nie przywiązuj się do literek – zapamiętaj gdzie leżą poszukiwane wartości bo oznaczenia mogą się zmienić.

 

Zadanie:

Zadanie: W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy:

cke-trojkat-matura-2012

$$ \textrm{A. cos }\alpha =  \frac9{11} \textrm{,      B. sin }\alpha =  \frac 9{11} \textrm{,      C. sin } \alpha =  \frac{11}{2\sqrt{10}} \textrm{,      D.cos }\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} $$

 

Rozwiązanie:

Mamy wartości boków ale musimy je właściwie oznaczyć.

cke-trojkat-matura-2012

Jeżeli w zadaniu nie podano inaczej bok a leży na przeciwko kąta α. W naszym przypadku będzie to bok o długości 2√10.

Pozostałe boki to b=9 i c = 11

Podstawiamy te wartości do wzorów:

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \textrm{sin} ⁡\alpha=\frac ac=\frac{2\sqrt{10}}{11} $$
$$ \textrm{cos} ⁡\alpha=\frac bc=\frac{9}{11} $$

Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź A

$$ cos\alpha = \frac9{11} $$

To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2012 (poziom podstawowy)