Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji cosx
Wzór na jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2 x + cos^2 x = 1, \textrm{ dla x∈R} $$
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Wzór na cosinus kąta podwojonego
$$ cos2x = cos^2 x – sin^2 x $$
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie cos2x + cosx+1 = 0 dla x∈<0, 2π>
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
$$ cos2x + cosx+1=0 $$
$$ \underbrace{cos2x}_{cos^2 x – sin^2 x} + cosx+1=0 $$
$$ cos^2 x – sin^2 x + cosx+1=0 $$
$$ cos^2 x – \underbrace{sin^2 x}_{1-cos^2 x} + cosx+1=0 $$
$$ cos^2 x – (1-cos^2 x) + cosx+1=0 $$
$$ cos^2 x – 1 + cos^2 x + cosx+1=0 $$
$$ 2cos^2 x + cosx=0 $$
$$ cosx(2cosx + 1)=0 $$
$$ cosx = 0 \textrm{ lub } 2cosx + 1=0 $$
$$ cosx = 0 \textrm{ lub } cosx = -\frac 12 $$
Z tablic matematycznych i wykresu odczytujemy rozwiązania:
$$ cosx = 0 \textrm{ dla } x = \frac{\pi}{2} + k \pi $$
$$ cosx = -\frac 12 \textrm{ dla } x = \pi – \frac{\pi}{3} + 2k \pi \textrm{ oraz } x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2k \pi $$
$$ cosx = -\frac 12 \textrm{ dla } x = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \textrm{ oraz } x = \frac{4 \pi}{3} + 2k \pi $$
W przedziale <0, 2π> mieszczą się następujące rozwiązania:
$$ x ∈ \{ \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} \} $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w maju roku 2013, poziom rozszerzony.