Teoria potrzebna do zadania:
Zadanie:
Zadanie: Jeżeli kąt α jest kątem ostrym oraz tgα = 2/5, to wartość wyrażenia
$$ \frac{3cosα – 2sinα}{sinα – 5cosα} $$
jest równa
$$ \textrm{A. } -\frac{11}{23} \textrm{, B. } \frac{24}{5} \textrm{, C. } -\frac{23}{11} \textrm{, D.} \frac{5}{24} $$
Rozwiązanie:
Z założeń zadania wiemy, że tgα = 2/5.
$$tg \alpha =\frac{sin \alpha}{cos \alpha} $$
Doprowadźmy zatem do tego aby w naszym wyrażeniu pojawiło się sinα/cosα
$$ \frac{3cosα – 2sinα}{sinα – 5cosα} $$
Dzielimy licznik i mianownik przez cosα
$$ \frac{\frac{3cosα – 2sinα}{cos \alpha}}{\frac{sinα – 5cosα}{cos \alpha}} = \frac{\frac{3cos \alpha}{cos \alpha} – \frac{2sin \alpha}{cos \alpha}}{\frac{sin \alpha}{cos \alpha} – \frac{5cos \alpha}{cos \alpha}} $$
Upraszczamy i zamiast sinα/cosα wstawiamy tgα
$$ \frac{3-2tg \alpha}{tg \alpha -5} $$
Zamiast tgα wstawiamy teraz 2/5
$$ \frac{3-2 \cdot \frac 25}{\frac 25 -5} = \frac{\frac{15}{5}- \frac 45}{\frac 25 – \frac{25}{5}} = \frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}} = \frac{11}{5} \cdot – \frac{5}{23} = -\frac{11}{23} $$
Zatem prawidłowa odpowiedź to A.
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2014 (poziom podstawowy)