Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wykres funkcji y = cosx
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
$$\textrm{sin(x-y) = sinxcosy – cosxsiny}$$
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie √3 cosx = 1 + sinx w przedziale <0,2π>Rozwiązanie – sposób I:
Mamy równanie:
$$ \sqrt{3} cosx = 1 + sinx $$
Chcielibyśmy podnieść obie strony tego równania do kwadratu ale musimy się przez chwilę zastanowić nad znakiem po każdej stronie równania.
Weźmy najpierw prawa stronę
$$ 1 + sinx $$
Z własności funkcji sinx wiemy, że
$$ -1≤sinx≤1 $$
zatem gdy do każdej strony nierówności dodamy 1
$$ -1+1≤sinx +1≤1+1 $$
$$ 0 ≤sinx +1≤2 $$
Skoro prawa strona równania (1 + sinx) jest nieujemna to lewa też taka musi być
$$ \sqrt{3} cosx ≥0 \textrm{ \:} \sqrt{3}$$
$$ cosx ≥0 $$
Z wykresu funkcji cosx widzimy, że w przedziale <0,2π> cosx ≥ 0 dla x ∈ <0, π/2> ∪ <3π/2, 2π>
Możemy zatem wrócić do zasadniczego równania:
$$ \sqrt{3} cosx = 1 + sinx $$
Podnosimy obie strony do kwadratu
$$ \sqrt{3} cosx = 1 + sinx \textrm{ \:² }$$
$$ (\sqrt{3} cosx)^2 = (1 + sinx)^2 $$
$$ 3 cos^2 x = 1+ 2sinx + sin^2 x $$
$$ 3 \underbrace{cos^2 x}_{1-sin^2 x} = 1+ 2sinx + sin^2 x $$
$$ 3 (1-sin^2 x) = 1+ 2sinx + sin^2 x $$
$$ 3 – 3sin^2 x – 1 – 2sinx – sin^2 x = 0 $$
$$ – 4sin^2 x – 2sinx +2 = 0 \textrm{ \: (-2)}$$
$$ 2sin^2 x + sinx – 1 = 0 $$
Wprowadzamy pomocniczą zmienną t = sinx
$$ 2t^2 + t – 1 = 0 $$
$$ \Delta = 1^2 – 4*2*(-1) = 9 $$
$$ \sqrt{\Delta} = 3 $$
$$ t_{1} = \frac{-1-3}{2*2} \textrm{ , } t_{2} = \frac{-1+3}{2*2} $$
$$ t_{1} = \frac{-4}{4} \textrm{ , } t_{2} = \frac{2}{4} $$
$$ t_{1} = -1 \textrm{ , } t_{2} = \frac{1}{2} $$
$$ sinx = -1 \textrm{ , lub } sinx = \frac{1}{2} $$
Z tablic matematycznych oraz wykresu odczytujemy wynik
$$ x = \frac{3 \pi}{2} + 2k \pi \textrm{ , lub } x = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \textrm{ , lub } x = \pi – \frac{\pi}{6} + 2k \pi $$
W przedziale <0,2π> będą się mieścić wartości:
$$ x ∈ \{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \} $$
Pamiętajmy, że z warunku cosx ≥0 wyszło nam, że x ∈ <0, π/2> ∪ <3π/2, 2π>
Rozwiązanie jest zatem następujące:
$$ x ∈ \{ \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \} $$
Rozwiązanie – sposób II:
Drugi sposób rozwiązania tego zadania jest krótszy ale chyba nieco trudniej na niego wpaść.
$$ \sqrt{3} cosx = 1 + sinx $$
Równanie zapisujemy w postaci
$$ \sqrt{3} cosx – sinx = 1 $$
Dzielimy przez 2
$$ \sqrt{3} cosx – sinx = 1 \textrm{ \:2}$$
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} cosx – \frac 12 sinx = \frac 12 $$
Wiemy, że:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} = sin \frac{\pi}{3} \textrm{ oraz } \frac 12 = cos \frac{\pi}{3} $$
Wstawiamy powyższe wartości do naszego równania
$$sin \frac{\pi}{3} cosx – cos \frac{\pi}{3} sinx = \frac 12 $$
Popatrzmy na wzór na sinus różnicy:
$$\textrm{sin(x-y) = sinxcosy – cosxsiny}$$
Stosując ten wzór do naszego równania:
$$sin \frac{\pi}{3} cosx – cos \frac{\pi}{3} sinx = sin ( \frac{\pi}{3} – x) $$
Zatem:
$$ sin ( \frac{\pi}{3} – x) = \frac 12$$
$$ \frac{\pi}{3} – x = \frac{\pi}{6} +2k\pi \textrm{ lub } \frac{\pi}{3} – x = \pi – \frac{\pi}{6} +2k\pi $$
$$ – x = \frac{\pi}{6} -\frac{\pi}{3} +2k\pi \textrm{ lub } – x = \pi – \frac{\pi}{6} -\frac{\pi}{3} +2k\pi $$
$$ – x = \frac{\pi}{6} -\frac{2\pi}{6} +2k\pi \textrm{ lub } – x = \frac{6 \pi}{6} – \frac{\pi}{6} -\frac{2\pi}{6} +2k\pi $$
$$ – x = -\frac{\pi}{6} +2k\pi \textrm{ lub } – x = \frac{3\pi}{6} +2k\pi $$
$$ – x = -\frac{\pi}{6} +2k\pi \textrm{ /*(-1) lub } – x = \frac{\pi}{2} +2k\pi \textrm{ /*(-1)} $$
$$ x = \frac{\pi}{6} -2k\pi \textrm{ lub } x = – \frac{\pi}{2} -2k\pi $$
Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko przedział <0, 2π> rozwiązaniem jest następujące:
$$ x ∈ \{ \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \} $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2014, poziom rozszerzony.