Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji sinx
Wykres funkcji cosx
Zadanie:
Zadanie: Równanie 2sinx + 3cosx = 6 w przedziale (0, 2π)
$$ \textrm{A. nie ma rozwiązań rzeczywistych, }$$
$$ \textrm{B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, }$$
$$ \textrm{C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste, }$$
$$ \textrm{D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste, }$$
Rozwiązanie
To zadanie nie wymaga rozwiązywania podanego równania. Do udzielenia odpowiedzi wystarczy nam znajomość własności funkcji sinus i cosinus.
Wimy, że funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mieszczą się pomiędzy -1 a 1, zatem:
$$-1\leq sinx \leq 1$$
$$-1\leq cosx \leq 1$$
Nasze równanie wygląda następująco:
$$2sinx + 3cosx = 6$$
$$-1\leq sinx \leq 1 \textrm{ /*2}$$
$$-1\leq cosx \leq 1 \textrm{ /*3}$$
$$-2\leq 2sinx \leq 2$$
$$-3\leq 3cosx \leq 3$$
————————————————- +
$$-5\leq 2sinx + 3cosx \leq 5$$
Jeżeli 2sinx + 3cosx ≤ 5 to nie może być równe 6, stąd wnioskujemy, że zadane równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych
Zatem prawidłową odpowiedzią jest A
To zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2015 (poziom rozszerzony)