Teoria potrzebna do zadania:
Wzór na sinus różnicy:
$$\textrm{sin(α-β) = sinαcosβ – cosαsinβ}$$
Wzory redukcyjne:
I ćwiartka |
II ćwiartka |
II ćwiartka |
III ćwiartka |
III ćwiartka |
IV ćwiartka |
IV ćwiartka |
IV ćwiartka |
|
| α | 90º – α | 90º + α | 180º – α | 180º + α | 270º – α | 270º + α | 360º – α | – α |
| π/2 – α | π/2 + α | π – α | π + α | 3π/2 – α | 3π/2 + α | 2π – α | – α | |
| sinα | cosα | cosα | sinα | -sinα | – sinα | – cosα | – sinα | – sinα |
| cosα | sinα | – sinα | – cosα | – cosα | – cosα | sinα | cosα | cosα |
| tgα | ctgα | – ctgα | – tgα | tgα | tgα | – ctgα | – tgα | – tgα |
| ctgα | tgα | – tgα | -ctgα | ctgα | ctgα | – tgα | -tgα | – ctgα |
Zadanie:
Zadanie: Dla dowolnego kąta α wartość wyrażenia sinα + sin(180º – α) jest równa wartości wyrażenia
$$ \textrm{A. } sin2 \alpha \textrm{, B. } -sin \alpha \textrm{, C. } 2sin \alpha \textrm{, D.} 0 $$
Rozwiązanie – sposób I
Mamy wyrażenie:
$$ sin \alpha + sin \alpha (180º – \alpha) $$
Z wzorów redukcyjnych wiemy, że
$$ sin \alpha (180º – \alpha) = sin \alpha $$
Więc
$$ sin \alpha + \underbrace{sin \alpha (180º – \alpha)}_{sin \alpha} = sin \alpha + sin \alpha = 2sin \alpha$$
Rozwiązanie – sposób II
Możemy skorzystać z wzoru na sinus różnicy, wówczas:
$$ sin \alpha (180º – \alpha) = \underbrace{sin180º}_{0} cos \alpha – \underbrace{cos 180º}_{-1} sin \alpha = sin \alpha $$
Wówczas nasze wyrażenie będzie wyglądało tak:
$$ sin \alpha + sin \alpha (180º – \alpha) = sin \alpha + sin \alpha = 2sin \alpha $$
Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź C
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w czerwcu 2015 – poziom rozszerzony