Zadanie MATURA 2015: Rozwiąż równanie (4sin²x – 1)sinx = cos²x – 3sin²x, dla x∈(-π,0) (p. rozszerzony)

Teoria potrzebna do zadania:

Wykres funkcji y=sin x

sinx

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2 x + cos^2 x = 1, \textrm{ dla x∈R} $$

Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x

 

Zadanie:

Zadanie: Rozwiąż równanie (4sin²x – 1)sinx = cos²x – 3sin²x, dla x∈(-π,0)

Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

$$ (4sin^2 x – 1) sin x = \underbrace{cos^2 x}_{1-sin^2 x \textrm{ (jedynka trygonometryczna)}} – 3 sin^2x $$

$$ (4sin^2 x – 1) sin x = 1-sin^2 x – 3 sin^2x $$

$$ (4sin^2 x – 1) sin x = 1-4sin^2 x  $$

$$ (4sin^2 x – 1) sin x -(1-4sin^2 x) = 0  $$

$$ (4sin^2 x – 1) sin x +(-1+4sin^2 x) = 0  $$

$$ (4sin^2 x – 1) ( sin x + 1) = 0  $$

Iloczyn jest równy zero jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0, więc

$$ (4sin^2 x – 1) =0 \textrm{   lub   } ( sin x + 1) = 0  $$

$$ 4sin^2 x =1 \textrm{   lub   } sin x =-1  $$

$$ sin^2 x =\frac 14 \textrm{   lub   } sin x =-1  $$

$$ sin x =\frac 12 \textrm{   lub   } sin x = – \frac 12 \textrm{   lub   }  sin x =-1  $$

Z tablic matematycznych oraz wykresu odczytujemy rozwiązania – wystarczą nam te mieszczące się w przedziale (-π,0)

wykres-sinx_1przez2-w-minuspi0 wykres-sinx_minus1-w-minuspi0 wykres-sinx_minus1przezdwa-w-minuspi0

Rozwiązanie:

$$ x∈\{-\pi + \frac{\pi}6, -\frac{3 \pi} 2, -\frac{\pi} 6 \} $$

Uprośćmy:

$$ x∈\{- \frac{5\pi}6, -\frac{3 \pi} 2, -\frac{\pi} 6 \} $$

I to jest koniec naszego zadania.

Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w czerwcu roku 2015, poziom rozszerzony.