Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wzór na jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2 x + cos^2 x = 1, \textrm{ dla x∈R} $$
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie (4sin²x – 1)sinx = cos²x – 3sin²x, dla x∈(-π,0)
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
$$ (4sin^2 x – 1) sin x = \underbrace{cos^2 x}_{1-sin^2 x \textrm{ (jedynka trygonometryczna)}} – 3 sin^2x $$
$$ (4sin^2 x – 1) sin x = 1-sin^2 x – 3 sin^2x $$
$$ (4sin^2 x – 1) sin x = 1-4sin^2 x $$
$$ (4sin^2 x – 1) sin x -(1-4sin^2 x) = 0 $$
$$ (4sin^2 x – 1) sin x +(-1+4sin^2 x) = 0 $$
$$ (4sin^2 x – 1) ( sin x + 1) = 0 $$
Iloczyn jest równy zero jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0, więc
$$ (4sin^2 x – 1) =0 \textrm{ lub } ( sin x + 1) = 0 $$
$$ 4sin^2 x =1 \textrm{ lub } sin x =-1 $$
$$ sin^2 x =\frac 14 \textrm{ lub } sin x =-1 $$
$$ sin x =\frac 12 \textrm{ lub } sin x = – \frac 12 \textrm{ lub } sin x =-1 $$
Z tablic matematycznych oraz wykresu odczytujemy rozwiązania – wystarczą nam te mieszczące się w przedziale (-π,0)
Rozwiązanie:
$$ x∈\{-\pi + \frac{\pi}6, -\frac{3 \pi} 2, -\frac{\pi} 6 \} $$
Uprośćmy:
$$ x∈\{- \frac{5\pi}6, -\frac{3 \pi} 2, -\frac{\pi} 6 \} $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w czerwcu roku 2015, poziom rozszerzony.