Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1
Wzór na sinus kąta podwojonego: sin2x = 2sinxcosx
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie sin²2x – 4sin²x + 1 = 0 w przedziale <0, 2π>Rozwiązanie:
Mamy równanie:
$$sin²2x – 4sin²x + 1=0$$
Pamiętajmy, że sin²2x to to samo co (sin2x)²
$$(sin2x)² – 4sin²x + 1=0$$
Korzystamy z wzoru na sinus podwojonego kątasin2x = 2sinxcosx i mamy
$$(2sinxcosx)² – 4sin²x + 1=0$$
$$4sin²xcos²x – 4sin²x + 1=0$$
Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1 ⇒ cos²x = 1 – sin²x
$$4sin²x(1 – sin²x) – 4sin²x + 1=0$$
$$4sin²x – 4sin^4x – 4sin²x + 1=0$$
$$- 4sin^4x + 1=0$$
$$4sin^4x = 1 \textrm{ /:4}$$
$$sin^4x = \frac14$$
Pierwiastkujemy obie strony równania.
$$sin^2x = \frac12 \textrm{ lub } sin^2x = -\frac12$$
Równianie sin²x = -1/2 nie ma rozwiązań, więc je pomijamy
Rozwiązujemy:
$$sin^2x = \frac12 $$
Ponownie pierwiastkujemy obie strony równania i mamy
$$sinx = \frac1{\sqrt{2}} \textrm{ lub } sinx = -\frac1{\sqrt{2}}$$
Zamieniamy 1/√2 na √2/2
$$sinx = \frac{\sqrt{2}}2 \textrm{ lub } sinx = -\frac{\sqrt{2}}2$$
I rozwiązujemy otrzymane równania. Zróbmy to od razu w przedziale <0, 2π>
Z tablic odczytujemy, że sinx jest równy √2/2 dla x = π/4
Z wykresu odczytujemy pozostałe rozwiązania:
Mamy zatem następujące rozwiązania zadanego równania w przedziale <0, 2π>
$$x=\frac{\pi}4 + 2k\pi$$
$$x=\pi – \frac{\pi}4 + 2k\pi \textrm{ tj. } x=\frac{3\pi}4 + 2k\pi $$
$$x=\pi +\frac{\pi}4 + 2k\pi \textrm{ tj. } x=\frac{5\pi}4 + 2k\pi $$
$$x=2\pi – \frac{\pi}4 + 2k\pi \textrm{ tj. } x=\frac{7\pi}4 + 2k\pi $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2015, poziom rozszerzony.