Zadanie MATURA 2015: Rozwiąż równanie sin²2x – 4sin²x + 1 = 0 w przedziale <0, 2π> (p. rozszerzony)

Teoria potrzebna do zadania:

Wykres funkcji y=sin x

sinx

Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1

Wzór na sinus kąta podwojonego: sin2x = 2sinxcosx

Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x

 

Zadanie:

Zadanie:  Rozwiąż równanie sin²2x – 4sin²x + 1 = 0 w przedziale <0, 2π>Rozwiązanie:

 Mamy równanie:

$$sin²2x – 4sin²x + 1=0$$

Pamiętajmy, że sin²2x to to samo co (sin2x)²

$$(sin2x)² – 4sin²x + 1=0$$

Korzystamy z wzoru na sinus podwojonego kątasin2x = 2sinxcosx i mamy

$$(2sinxcosx)² – 4sin²x + 1=0$$

$$4sin²xcos²x – 4sin²x + 1=0$$

Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1 ⇒  cos²x = 1 – sin²x

$$4sin²x(1 – sin²x) – 4sin²x + 1=0$$

$$4sin²x – 4sin^4x – 4sin²x + 1=0$$

$$- 4sin^4x + 1=0$$

$$4sin^4x = 1 \textrm{ /:4}$$

$$sin^4x = \frac14$$

Pierwiastkujemy obie strony równania.

$$sin^2x = \frac12 \textrm{  lub  } sin^2x = -\frac12$$

Równianie sin²x = -1/2 nie ma rozwiązań, więc je pomijamy

Rozwiązujemy:

$$sin^2x = \frac12 $$

Ponownie pierwiastkujemy obie strony równania i mamy

$$sinx = \frac1{\sqrt{2}} \textrm{  lub  } sinx = -\frac1{\sqrt{2}}$$

Zamieniamy 1/√2 na √2/2

$$sinx = \frac{\sqrt{2}}2 \textrm{  lub  } sinx = -\frac{\sqrt{2}}2$$

I rozwiązujemy otrzymane równania. Zróbmy to od razu w przedziale <0, 2π>

Z tablic odczytujemy, że sinx jest równy √2/2 dla x = π/4

Z wykresu odczytujemy pozostałe rozwiązania:

matura2015sin pierw2 przez 2

 

Mamy zatem następujące rozwiązania zadanego równania w przedziale <0, 2π>

$$x=\frac{\pi}4 + 2k\pi$$

$$x=\pi – \frac{\pi}4 + 2k\pi \textrm{ tj. } x=\frac{3\pi}4 + 2k\pi $$

$$x=\pi +\frac{\pi}4 + 2k\pi \textrm{ tj. } x=\frac{5\pi}4 + 2k\pi $$

$$x=2\pi – \frac{\pi}4 + 2k\pi \textrm{ tj. } x=\frac{7\pi}4 + 2k\pi $$

 

I to jest koniec naszego zadania.

Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2015, poziom rozszerzony.