1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i rozwartego, Matura w 2016

Zadanie MATURA 2016: Kąt α jest ostry i sin α = 4/5. Jaka jest wartość wyrażenia sin α – cos α? (p. podstawowy)

 

Teoria potrzebna do zadania:

trojkat prostokatny ogolny

$$ \text{sin α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\sin\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kata}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right)$$

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \text{tg α=}\frac{\mathrm a}{\mathrm b}\left(\mathrm{inaczej}\;tg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}\right) $$

$$ \text{ctg α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm a}\left(\mathrm{inaczej}\;ctg\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna }\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{na}\;\mathrm{przeciw}\;\mathrm{kąta}\;\mathrm\alpha}\right) $$

 

Zadanie:

Zadanie: Kąt α jest ostry i sin α = 4/5. Wtedy wartość wyrażenia sinα – cosα jest równa

$$ \textrm{A. } \frac 15 \textrm{,       B. } \frac 35 \textrm{,       C. }\frac{17}{25} \textrm{,       D.} \frac{1}{25} $$

Rozwiązanie

 

Sinα = 4/5, więc przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta może być równa 4, a przeciwprostokątna może być równa 5 (lub dowolnej wielokrotności tych liczb ale dla tego zadania to nie jest istotne). Brakuje nam wartości przyprostokątnej leżącej przy kącie i to obliczymy sobie z twierdzenia Pitagorasa:

matura-2016-trojkat

42+b2 = 52

b2 = 52 – 42

b2= 25-16

b2 = 9

b=√9 = 3

Mamy już wszystkie wartości boków: a=4, b=3, c=5.

Wystarczy podstawić do wzoru:

$$ \text{cos α=}\frac{\mathrm b}{\mathrm c}\left(\mathrm{inaczej}\;\cos\;\mathrm\alpha\;=\frac{\mathrm{przyprostokątna}\;\mathrm{przy}\;\mathrm{kącie}\;\mathrm\alpha}{\mathrm{przeciwprostokątna}}\right) $$

$$ \cos\;⁡\alpha=\frac bc=\frac35 $$

Teraz możemy obliczyć wartość wyrażenia sin α – cos α

$$ sin \alpha – cos \alpha = \frac 45 – \frac 35 = \frac 15$$

Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź A

To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w sierpniu 2016 – poziom podstawowy.