Zadanie MATURA 2016: Kąt α jest ostry i (sinα + cosα)² = 3/2. Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα. (p. podstawowy)

 

Teoria potrzebna do zadania:

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$$ (a+b)² = a² + 2ab + b²$$

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$$ \textrm{sin²x + cos²x = 1, dla x∈R}$$

 

Zadanie:

Zadanie: Kąt α jest ostry i (sinα + cosα)² = 3/2. Oblicz wartość wyrażenia sinα*cosα

Rozwiązanie

$$ (sin\alpha + cos\alpha)² = \frac32$$

Za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy podnosimy sinα + cosα do kwadratu:
$$ (sin²\alpha + 2sin\alpha cos\alpha +  cos²\alpha) = \frac32$$
$$ sin²\alpha + cos²\alpha + 2sin\alpha cos\alpha  = \frac32$$
Korzystamy z wzoru na jedynkę trygonometryczną i zamiast sin²α + cos²α wpisujemy 1
$$ 1 + 2sin\alpha cos\alpha  = \frac32$$
Przekształcamy:
$$ 2sin\alpha cos\alpha  = \frac32-1$$
$$ 2sin\alpha cos\alpha  = \frac32-\frac22$$
$$ 2sin\alpha cos\alpha  = \frac12 \textrm{ \:2}$$
$$ sin\alpha cos\alpha  = \frac12 \cdot \frac12$$
Pamiętamy, że dzielenie przez 2 to to samo co mnożenie przez 1/2
$$ sin\alpha cos\alpha  = \frac14 $$
I to już koniec zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w 2016, poziom podstawowy.