Zadanie MATURA 2016: Oblicz wartość wyrażenia sin²75º – cos²75º (p. rozszerzony)

Teoria potrzebna do zadania:

 

$$\textrm{sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny}$$

$$\textrm{cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny}$$

 

Zadanie:

Zadanie: Wartość wyrażenia sin²75º – cos²75º jest równa

$$ \textrm{A. } -\frac 12 \textrm{,       B. } \frac 12 \textrm{,       C. } -\frac{\sqrt{3}}{2} \textrm{,       D.} \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Rozwiązanie

 

Dla ułatwienia przekształćmy nieco podane wyrażenie

sin²75º – cos²75º = sin75ºsin75º – cos75ºcos75º

Obliczamy oddzielnie sin75º i cos75º. Kąt 75º zapisujemy jako suma kątów 30º i 45º a następnie korzystamy z wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Wartości sinusa i cosinusa 30º i 45º odczytujemy z tablic matematycznych.

$$ sin75º = sin(30º+45º) = sin30ºcos45º + cos30ºsin45º = \frac 12 \frac{\sqrt{2}}2 + \frac{\sqrt{3}}2 \frac{\sqrt{2}}2 = \frac{\sqrt{2}}4 + \frac{\sqrt{6}}4 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}4 $$

$$ cos75º = cos(30º+45º) = cos30ºcos45º – sin30ºsin45º =\frac{\sqrt{3}}2 \frac{\sqrt{2}}2 – \frac{1}2 \frac{\sqrt{2}}2 = \frac{\sqrt{6}}4 – \frac{\sqrt{2}}4 = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}4 $$

Możemy teraz przejść do obliczania wartości wyrażenia sin²75º – cos²75º

$$ sin²75º – cos²75º = sin75ºsin75º – cos75ºcos75º = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}4 – \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}4\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}4 =$$
$$ \frac{2+ 2 \sqrt{12} +6}{16} – \frac{6 – 2 \sqrt{12} +2}{16} = \frac{8+ 2 \sqrt{12} -8 +2 \sqrt{12}}{16} = \frac{4 \sqrt{12}}{16} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3*4}}{4} = \frac{ 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź D

To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w czerwcu 2016 – poziom rozszerzony.