Teoria potrzebna do zadania:
$$\textrm{sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny}$$
$$\textrm{cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny}$$
Zadanie:
Zadanie: Wartość wyrażenia sin²75º – cos²75º jest równa
$$ \textrm{A. } -\frac 12 \textrm{, B. } \frac 12 \textrm{, C. } -\frac{\sqrt{3}}{2} \textrm{, D.} \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Rozwiązanie
Dla ułatwienia przekształćmy nieco podane wyrażenie
sin²75º – cos²75º = sin75ºsin75º – cos75ºcos75º
Obliczamy oddzielnie sin75º i cos75º. Kąt 75º zapisujemy jako suma kątów 30º i 45º a następnie korzystamy z wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Wartości sinusa i cosinusa 30º i 45º odczytujemy z tablic matematycznych.
$$ sin75º = sin(30º+45º) = sin30ºcos45º + cos30ºsin45º = \frac 12 \frac{\sqrt{2}}2 + \frac{\sqrt{3}}2 \frac{\sqrt{2}}2 = \frac{\sqrt{2}}4 + \frac{\sqrt{6}}4 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}4 $$
$$ cos75º = cos(30º+45º) = cos30ºcos45º – sin30ºsin45º =\frac{\sqrt{3}}2 \frac{\sqrt{2}}2 – \frac{1}2 \frac{\sqrt{2}}2 = \frac{\sqrt{6}}4 – \frac{\sqrt{2}}4 = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}4 $$
Możemy teraz przejść do obliczania wartości wyrażenia sin²75º – cos²75º
Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź D
To już koniec zadania. Zadanie to pojawiło się na egzaminie maturalnym w czerwcu 2016 – poziom rozszerzony.