Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=cos x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż nierówność (2cosx – √3)/cos²x < 0 w przedziale <0, 2π>
Rozwiązanie:
Mamy do rozwiązania następującą nierówność:
$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0$$
W tej sytuacji musimy przede wszystkim założyć, że mianownik jest różny od zera
$$cos²x ≠0$$
Skoro cos²x ma być różny od zera, sam cosx również musi być różny od zera
$$cosx ≠0$$
Z tablic matematycznych odczytujemy, że cosx = 0 dla x = π/2 + kπ, zatem:
$$cosx ≠0 \textrm{ dla x ≠ } \frac{\pi}2 \textrm{ + 2k}\pi \textrm{ k∈C} $$
Ze względu na to, że w naszym zadaniu mamy się ograniczyć do przedziału <0, 2π> wypiszmy sobie od razu wszystkie wartości
$$\textrm{ W przedziale <0, 2π> cosx ≠0 dla x ≠ } \frac{\pi}2 \textrm{ (k=1) dla x ≠ } \frac{3\pi}2 \textrm{ (k=2)}$$
Wracamy do naszej nierówności:
$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0$$
Pomnóżmy obie strony nierówności przez cos²x (nie musimy obawiać się o znak nierówności ponieważ dowolna wartość podniesiona do kwadratu jest dodatnia)
$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0 \textrm{ \*cos²x}$$
$$ 2cosx – \sqrt{3} < 0$$
$$ 2cosx < \sqrt{3} \textrm{ \:2}$$
$$ cosx < \frac{\sqrt{3}}2 $$
Sprawdzamy najpierw, kiedy cosx = √3/2
Z tablic matematycznych odczytujemy, że
$$ cosx = \frac{\sqrt{3}}{2} \textrm{ dla x = } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ, k∈ C}$$
Z wykresu odczytujemy drugie rozwiązanie:
$$ cosx = \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla x = } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ lub x = } 2\pi – \frac{\pi}6 \textrm{, k∈ C}$$
$$ cosx = \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla x = } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ lub x = } \frac{11\pi}6 \textrm{, k∈ C}$$
Do rozwiązania mieliśmy nierówność
$$ cosx < \frac{\sqrt{3}}2 $$
Odczytajmy zatem z wykresu rozwiązanie
$$ cosx < \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla x > } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ oraz x < } \frac{11\pi}6 \textrm{, k∈ C}$$
Pamiętajmy, że założyliśmy podczas obliczeń, że cosx ≠ 0, wyrzućmy zatem te wartości, które powodują że cosx=0 i ograniczmy się do przedziału <0, 2π>.
Otrzymujemy następujące rozwiązanie:
$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0 \textrm{ dla x∈} (\frac{\pi}6, \frac{\pi}2) \cup (\frac{\pi}2, \frac{3\pi}2) \cup (\frac{3\pi}2, \frac{11\pi}6) $$
To zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w 2016 roku (poziom rozszerzony)