Zadanie MATURA 2016: Rozwiąż nierówność (2cosx – √3)/cos²x < 0 w przedziale <0, 2π> (p. rozszerzony)

 

Teoria potrzebna do zadania:

Wykres funkcji y=cos x

cos_x

Zadanie:

Zadanie: Rozwiąż nierówność (2cosx – √3)/cos²x < 0 w przedziale <0, 2π>

Rozwiązanie:

Mamy do rozwiązania następującą nierówność:

$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0$$

W tej sytuacji musimy przede wszystkim założyć, że mianownik jest różny od zera

$$cos²x ≠0$$

Skoro cos²x ma być różny od zera, sam cosx również musi być różny od zera

$$cosx ≠0$$

Z tablic matematycznych odczytujemy, że cosx = 0 dla x = π/2 + kπ, zatem:

$$cosx ≠0 \textrm{ dla x ≠ } \frac{\pi}2 \textrm{ + 2k}\pi \textrm{ k∈C} $$

Ze względu na to, że w naszym zadaniu mamy się ograniczyć do przedziału <0, 2π> wypiszmy sobie od razu wszystkie wartości

$$\textrm{ W przedziale <0, 2π> cosx ≠0 dla x ≠ } \frac{\pi}2 \textrm{ (k=1) dla x ≠ } \frac{3\pi}2 \textrm{ (k=2)}$$

 

Wracamy do naszej nierówności:

$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0$$

Pomnóżmy obie strony nierówności przez cos²x (nie musimy obawiać się o znak nierówności ponieważ dowolna wartość podniesiona do kwadratu jest dodatnia)

$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0 \textrm{ \*cos²x}$$

$$ 2cosx – \sqrt{3} < 0$$

$$ 2cosx < \sqrt{3} \textrm{ \:2}$$

$$ cosx < \frac{\sqrt{3}}2 $$

Sprawdzamy najpierw, kiedy cosx = √3/2

Z tablic matematycznych odczytujemy, że

$$ cosx = \frac{\sqrt{3}}{2} \textrm{ dla x = } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ, k∈ C}$$

Z wykresu odczytujemy drugie rozwiązanie:

matura2016a

$$ cosx = \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla x = } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ lub x = } 2\pi – \frac{\pi}6 \textrm{, k∈ C}$$

$$ cosx = \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla x = } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ lub x = }  \frac{11\pi}6 \textrm{, k∈ C}$$

Do rozwiązania mieliśmy nierówność

$$ cosx < \frac{\sqrt{3}}2 $$

Odczytajmy zatem z wykresu rozwiązanie

matura2016b

$$ cosx < \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla x > } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2kπ oraz x < }  \frac{11\pi}6 \textrm{, k∈ C}$$

Pamiętajmy, że założyliśmy podczas obliczeń, że cosx ≠ 0, wyrzućmy zatem te wartości, które powodują że cosx=0 i ograniczmy się do przedziału <0, 2π>.

Otrzymujemy następujące rozwiązanie:

$$ \frac{2cosx – \sqrt{3}}{cos²x} < 0 \textrm{  dla x∈} (\frac{\pi}6, \frac{\pi}2) \cup (\frac{\pi}2, \frac{3\pi}2) \cup (\frac{3\pi}2, \frac{11\pi}6) $$

To zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w 2016 roku (poziom rozszerzony)