Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=sin x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż nierówność (2sinx – 3)(2sinx+1)>0 w przedziale x∈(0,2π)π>
Rozwiązanie:
Mamy do rozwiązania następującą nierówność:
(2sinx – 3)(2sinx+1)>0
Żeby iloczyn dwóch liczb był większy od zera to oba czynniki muszą mieć ten sam znak (np. 2*2>0 i (-2)*(-2)>0)
Więc:
(2sinx – 3)(2sinx+1)>0 gdy
(2sinx – 3)>0 i (2sinx+1)>0 lub (2sinx – 3)<0 i (2sinx+1)<0
Rozważmy najpierw pierwszą parę
2sinx – 3>0 i 2sinx+1>0
2sinx >3 i 2sinx>-1
sinx >3/2 i sinx>-1/2
Nie musimy już dalej liczyć. Wiemy, że sinx mieści się między -1 a 1, zatem nierówność sinx >3/2 nie ma rozwiązań.
Przejdźmy do drugiej pary nierówności
(2sinx – 3)<0 i (2sinx+1)<0
2sinx<3 i 2sinx<-1
sinx<3/2 i sinx<-1/2
Sinus mieści się między -1 a 1, więc nierówność sinx<3/2 jest zawsze spełniona.
Poszukajmy rozwiązań nierówności sinx<-1/2
$$ sinx<- \frac 12 $$
Sprawdzamy dla jakich x sinx = 1/2. Z tablic matematycznych odczytujemy, że dla x = π/6.
Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania sinx = -1/2
Widzimy, że
sinx = -1/2 dla x = π + π/6 + 2kπ oraz x = 2π- π/6 + 2kπ
sinx = -1/2 dla x = 7π/6 + 2kπ oraz x = 11π/6 + 2kπ
Pamiętajmy, że mamy do rozwiązania nierówność a nie równanie
sinx<-1/2
Z wykresu odczytujemy rozwiązania dla przedziału (0, 2π)
Rozwiązanie:
x∈(7π/6, 11π/6)
To zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w czerwcu 2016 roku (poziom rozszerzony).