Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=cos x
Wzór na jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2 x + cos^2 x = 1, \textrm{ dla x∈R} $$
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x
Wzór na cosinus podwojonego kąta:
$$\textrm{cos2x = cos²x – sin²x}$$
Funkcja kwadratowa:
at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R
Δ =b² – 4ac
$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie cos2x + 3cosx =-2 w przedziale <0,2π>
Rozwiązanie:
$$cos2x+3cosx=-2$$
Korzystamy z wzoru na cosinus kąta podwojonego i zamiast cos2x wstawiamy cos²x – sin²x:
$$cos^2 x – sin^2 x +3cosx = -2$$
Zamiast sin²x wpisujemy 1-cos²x (z jedynki trygonometrycznej)
$$cos^2 x – (1-cos^2 x) +3cosx = -2$$
$$cos^2 x – 1+cos^2 x+3cosx +2 = 0$$
$$2cos^2 x + 3cosx +1=0$$
Dla ułatwienia zamiast cosx podstawimy t, t∈<-1, 1>
$$2t^2 + 3t+1=0$$
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
2t² + 3t +1 = 0
Δ = 3²-4*2*1
Δ = 9-8
Δ = 1
√Δ = 1
$$ t_{1} = \frac{-3-1}{2*2}\textrm{, } t_{2} = \frac{-3+1}{2*2}$$
$$ t_{1} = \frac{-4}{4}\textrm{, }t_{2} = \frac{-2}{4}$$
Skracamy otrzymane ułamki
$$ t_{1} = -1 \textrm{, }t_{2} = -\frac{1}{2}$$
Wracamy do naszego podstawienia t = cosx
$$ cosx = -1 \textrm{ lub }cosx =- \frac{1}{2} $$
Rozwiązujemy powstałe równania
$$ \textrm{1) } cosx = -1 $$
Popatrzmy na wykres funkcji cosinus
Odczytujemy, że
$$ cosx = – 1 \textrm{ dla x = }\pi \textrm{ + 2k}\pi \textrm{, k∈C} $$
W przedziale <0,2π> z którego mamy mieć rozwiązania mieści się tylko x=π
I drugie równanie:
$$ \textrm{a) }cosx = – \frac{1}{2}$$
Z tablic matematycznych odczytujemy, kiedy cosx = 1/2.
Cosx = 1/2 dla x = π/3.
Nas interesuje jednak kiedy cosx = -1/2
Popatrzmy na wykres i odczytajmy rozwiązania
Widzimy więc, że
$$cosx = – \frac{1}{2} \textrm{ dla x =} \pi – \frac{\pi}3 \textrm{+ 2kπ oraz dla x =} \pi + \frac{\pi}3 + 2kπ, k∈C$$
Uprośćmy nieco:
$$cosx = – \frac{1}{2} \textrm{ dla x =} \frac{2\pi}3 \textrm{+ 2kπ oraz dla x =} \frac{4\pi}3 + 2kπ, k∈C$$
W przedziale <0,2π> z którego mamy mieć rozwiązania mieści się tylko x=2π/3 i x=4π/3
W ten sposób znaleźliśmy rozwiązania równania:
$$cos2x+3cosx=-2$$
w przedziale <0,2π>
$$ \textrm{ x ∈ } \{ \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3} \} $$
I to jest koniec naszego zadania.
Zadanie pojawiło się na egzaminie maturalnym w roku 2017, poziom rozszerzony.