Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=cos x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż nierówność: 2cos2x ≥ √3
Rozwiązanie:
Mamy do rozwiązania następującą nierówność:
$$ 2cos2x \geq \sqrt{3}$$
Rozwiązujemy najpierw równanie trygonometryczne
$$ 2cos2x = \sqrt{3}$$
$$ 2cos2x = \sqrt{3}\textrm{ /:2}$$
$$ cos2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Dla ułatwienia wykonujemy podstawienie t = 2x i mamy:
$$ cost = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
W tablicach matematycznych sprawdzamy dla jakiego t powyższe równanie jest spełnione, okazuje się, że:
$$ cost = \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{dla t =} \frac{\pi}6 \textrm{ +2k}\pi$$
Z wykresu odczytujemy pozostałe wartości dla których powyższe równanie jest spełnione
Widzimy, że $$ cost = \frac{\sqrt{3}}{2} \textrm{ dla t= } \frac{\pi}6 +\textrm{ 2k}\pi \textrm{ oraz dla t = } – \frac{\pi}6 +2k\pi$$
Pamiętajmy, że ostatecznie mamy rozwiązać nierówność trygonometryczną a nie równanie.
$$ cost \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
W związku z tym, że mamy wyznaczyć wartości funkcji cosinus większe bądź równe √3/2 zaznaczmy te obszary, które znajdują się nad zadaną wartością
Widzimy teraz, że w przedziale <-π/2, 3π/2>
$$ cost \geq \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla t} \geq – \frac{\pi}6 \textrm{ oraz dla t} \leq \frac{\pi}6$$
Zapiszmy to tak:
$$ cost \geq \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla } \frac{\pi}6\geq t \geq – \frac{\pi}6$$
Funkcja cosinus jest okresowa – powtarza się co 2π. Obliczając równanie trygonometryczne lub nierówność trygonometryczną sprawdzamy początkowo rozwiązanie dla przedziału o długości 2π a potem dopisujemy resztę rozwiązań (+2kπ). Nie ma znaczenia który przedział wybierzemy – wybierajmy zawsze ten najłatwiejszy w opisie rozwiązań (dla cosinusa będzie to zazwyczaj przedział <-π/2, 3π/2>)
$$ cost \geq \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2k}\pi \geq t \geq – \frac{\pi}6\textrm{ + 2k}\pi$$
Na koniec wróćmy jeszcze do podstawienia t = 2x i mamy
$$ cos2x \geq \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla } \frac{\pi}6 \textrm{ + 2k}\pi \geq 2x \geq – \frac{\pi}6\textrm{ + 2k}\pi$$
Podzielmy wszystko przez dwa żeby uzyskać sam x:
$$ \frac{\pi}6 \textrm{ + 2k}\pi \geq 2x \geq – \frac{\pi}6\textrm{ + 2k}\pi \textrm{ /:2}$$
$$ \frac{\pi}{12} \textrm{ + k}\pi \geq x \geq – \frac{\pi}{12}\textrm{ + k}\pi$$
Rozwiązanie jest następujące:
$$ cos2x \geq \frac{\sqrt{3}}2 \textrm{ dla } \frac{\pi}{12} \textrm{ + k}\pi \geq x \geq – \frac{\pi}{12}\textrm{ + k}\pi$$