Związki między funkcjami trygonometrycznymi – WZORY

 

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

 

$$ \textrm{sin²x + cos²x = 1, dla x∈R (tzw jedynka trygonometryczna)}$$

$$tgx=\frac{sinx}{cosx} \textrm{ dla x≠}\frac{\pi}2 + k\pi \textrm{, k∈C}$$

$$ctgx=\frac{cosx}{sinx} \textrm{ dla x≠k}\pi \textrm{, k∈C}$$

$$tgx=\frac{1}{ctgx} \textrm{ dla x≠}\frac{k\pi}2 \textrm{, k∈C}$$

Funkcje trygonometryc[zne sumy i różnicy argumentów

$$\textrm{sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny}$$

$$\textrm{sin(x-y) = sinxcosy – cosxsiny}$$

$$\textrm{cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny}$$

$$\textrm{cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny}$$

$$\textrm{tg(x+y) =} \frac{\textrm{tgx + tgy}}{\textrm{1 – tgx tgy}}$$

$$\textrm{tg(x-y) =} \frac{\textrm{tgx – tgy}}{\textrm{1 + tgx tgy}}$$

$$\textrm{ctg(x+y) =} \frac{\textrm{ctgx ctgy -1}}{\textrm{ctgx + ctgy}}$$

$$\textrm{ctg(x+y) =} \frac{\textrm{ctgx ctgy +1}}{\textrm{ctgx – ctgy}}$$

Funkcje trygonometryczne podwojonego  argumentu

$$\textrm{sin2x = 2sinxcosx}$$

$$\textrm{cos2x = cos²x – sin²x}$$

$$\textrm{tg2x = } \frac{\textrm{2tgx}}{\textrm{1 – tg²x}}$$

$$\textrm{ctg2x = } \frac{\textrm{ctg²x – 1}}{\textrm{2ctgx}}$$
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

$$\textrm{sinx + siny = 2 sin}\frac{x+y}{2}\textrm{cos}\frac{x-y}2$$

$$\textrm{cosx + cosy = 2 cos}\frac{x+y}{2}\textrm{cos}\frac{x-y}2$$

$$\textrm{tgx + tgy = }\frac{\textrm{sin(x+y)}}{\textrm{cosx cosy}}$$

$$\textrm{ctgx + ctgy = }\frac{\textrm{sin(x+y)}}{\textrm{sinx siny}}$$

 

$$\textrm{sinx – siny = 2 sin}\frac{x-y}{2}\textrm{cos}\frac{x+y}2$$

$$\textrm{cosx – cosy = -2 sin}\frac{x+y}{2}\textrm{sin}\frac{x-y}2$$

$$\textrm{tgx – tgy = }\frac{\textrm{sin(x-y)}}{\textrm{cosx cosy}}$$

$$\textrm{ctgx – ctgy = -}\frac{\textrm{sin(x-y)}}{\textrm{sinx siny}}$$

 

$$\textrm{1 + sinx = 2sin²}\left( \frac{\pi}4 + \frac{x}2 \right) = \textrm{2cos²}\left( \frac{\pi}4 – \frac{x}2 \right) \textrm{= 2sin²}\left( 45° + \frac{x}2 \right) = \textrm{2cos²}\left( 45° – \frac{x}2 \right)$$

$$\textrm{1 + cosx = 2cos²} \frac{x}2$$

$$\textrm{1 – sinx = 2sin²}\left( \frac{\pi}4 – \frac{x}2 \right) = \textrm{2cos²}\left( \frac{\pi}4 + \frac{x}2 \right) \textrm{= 2sin²}\left( 45° – \frac{x}2 \right) = \textrm{2cos²}\left( 45° + \frac{x}2 \right)$$

$$\textrm{1 – cosx = 2sin²} \frac{x}2$$

 

 

Funkcje połowy kąta

 

$$\textrm{sin²}\frac{x}2 = \frac{\textrm{1 – cosx}}2$$

$$\textrm{cos²}\frac{x}2 = \frac{\textrm{1 + cosx}}2$$

$$\textrm{tg²}\frac{x}2 = \frac{\textrm{1 – cosx}}{\textrm{1 + cosx}} = \frac{\textrm{sin²x}}{\textrm{(1 + cosx)²}} =  \frac{\textrm{(1 – cosx)²}}{\textrm{sin²x}} $$

$$\textrm{ctg²}\frac{x}2 = \frac{\textrm{1 + cosx}}{\textrm{1 – cosx}} = \frac{\textrm{1+cosx}}{\textrm{sin²x}} =  \frac{\textrm{sin²x}}{\textrm{(1-cosx)²}} $$

Parzystość funkcji

 

sinx jest nieparzysta, sin (-x) = – cos (x)

cosx jest parzysta, cos (-x) = cos (x)

tgx jest nieparzysta, tg (-x) = – tg (x)

ctgx jest nieparzysta, ctg (-x) = – ctg (x)